В достаточно чистых металлах основным механизмом уста- новления равновесия в широком диапазоне температур является взаимодействие электронов проводимости с фононами. 402 МЕТАЛЛЫ Условие возможности испускания (или поглощения) фонона электроном требует, чтобы скорость электрона превосходила ско- рость фонона — ср. аналогичный вывод в § 68 для испускания фонона фононом. Но скорость электронов у ферми-поверхности обычно велика по сравнению со скоростью фононов, так что это условие выполнено и основной вклад в электрон-фононный ин- теграл столкновений вносят именно указанные «однофононные» процессы. С учетом этих процессов интеграл столкновений име- ет следующий вид, аналогичный фонон-фононному интегралу F7.6) !): St ¦/• j37 G9.1) Первый член отвечает процессам испускания фонона с квазиим- пульсом к электроном с заданным квазиимпульсом р и обратным процессам поглощения фонона к электронами р7 с восстановле- нием квазиимпульса р: p = p' + k + b; G9.2а) в этих процессах переходы осуществляются между электронным состоянием с заданной энергией ?р и нижележащими (по энер- гии) состояниями. Второй же член отвечает процессам поглоще- ния фонона электроном р и обратным процессам его испускания электронами р7: р + к = р' + Ь; G9.26) в этих процессах переходы осуществляются между заданным и вышележащими электронными состояниями. По тем же причи- нам, что и для испускания фонона фононом в § 66, значение b в равенствах G9.2) однозначно определяется заданием значений к, р и требованием, чтобы р7 оказалось в той же выбранной ячейке обратной решетки. E-функционные множители в G9.1) выража- ют закон сохранения энергии; ер — энергии электронов, о;к — энергии фононов. Как и в гл. VII, функция распределения (числа заполнения состояний) фононов обозначена через 7Vk; функция В § 79-83 используется система единиц, в которой h = 1. § 79 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 403 же распределения электронов обозначается через пр. Индексы, указывающие ветвь фононного спектра (и знаки суммирования по ним), мы для краткости не выписываем. Предполагается, что вероятности переходов не зависят от спина электрона, не меня- ющегося при переходе. Аналогичным образом записывается фонон-электронный ин- теграл столкновений, который должен быть добавлен к фонон- ному интегралу в правой части кинетического уравнения для функции распределения фононов: Г f J °~% G9.3) причем р = р7 + k + b. Этот интеграл — разность между чис- лом фононов к, испускаемых электронами со всеми возможными квазиимпульсами р, и числом фононов, поглощаемых электрона- ми со всеми возможными р7. Множитель 2 учитывает два воз- можных направления спина излучающего (или поглощающего) электрона. В первом порядке теории возмущений фигурирующие в этих интегралах вероятности испускания и поглощения фонона элек- троном определяются оператором электрон-фононного взаимо- действия, линейным по фононным операторам Us(n) F6.2); ли- нейность отвечает тому, что эти операторы ответственны за пе- реходы с изменением на 1 всего одного из чисел заполнения фо- нонных состояний. Не повторяя вновь изложенных в § 66 рас- суждений, укажем, что в пределе стремящегося к нулю квази- импульса фонона к вероятность испускания (или поглощения) фонона пропорциональна первой степени к: w(X)k. G9.4) Согласно общему свойству вероятностей перехода в борнов- ском приближении, вероятности прямого и обратного переходов одинаковы; поэтому1) w(pt,k;p)=w(p;p',k). G9.5) Это свойство уже учтено в интегралах G9.1) и G9.3). Дальнейшее упрощение достигается при учете симметрии (выраженной вещественностью операторов Us), с которой опе- раторы рождения и уничтожения фононов входят в оператор 1) Напомним, что квантовые числа начального (г) и конечного (Л состо- яний в обозначениях вероятностей перечисляются везде в порядке /г. 404 МЕТАЛЛЫ электрон-фононного взаимодействия. В силу этой симметрии, ис- пускание фонона с квазиимпульсом к эквивалентно поглощению фонона с квазиимпульсом —к. Учтем также близость энергий электрона ер и ?р/ к фермиевской энергии ер. Пусть рр и р7^ — векторы, проведенные в направлениях рир'и оканчивающиеся на ферми-поверхности. Пусть функции w выражены в зависимо- сти от направлений рр, р^ и разностей г/р = ер — ер, г/р/ = ер/ — — ер, характеризующих степень близости энергии электрона к ер. Относительно последних переменных w является медленной функцией, заметно меняющейся лишь на интервалах ~ ер ^> Т. Пренебрегая величинами ~ г] ~ Т, можно положить в этих функ- циях г/р = г/р/ = 0. Тогда указанная выше эквивалентность вы- разится равенством ™(Pf> k5 Pf) = w(p'f5 pF, -k), G9.6) причем w являются функциями только от направлений рр и р7^. Если теперь переобозначить во втором члене в G9.1) переменную интегрирования к —>• —к, то коэффициенты w в обоих интегра- лах станут одинаковыми; поскольку o;_k = o;k, то переобозначе- ние приводит лишь к замене N^ на -/V_k- Интегралы G9.1) и G9.3) обращаются, конечно, в нуль равно- весными функциями распределения электронов и фононов. Ли- неаризация этих интегралов при малых отклонениях от равно- весия производится одновременно по обеим функциям распреде- ления, которые представляем в виде п = щ(е) + 8п, N = Щ(ои) + 5N, ^ = -|^^=ПоA-По)^ G9.7) SN- дк No(l + No) диА т А' Преобразование производится вполне аналогично тому, как это делалось в § 67 и 74. Так, выражение в фигурных скобках в первом члене в G9.1), переписанное как приводится к виду Это выражение целесообразно преобразовать дальше, восполь- зовавшись равенством по(е)[1 - по(е')] = К(е) - по(е')]^о(е - е'), G9.8) § 79 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 405 которое легко проверить прямым вычислением. Тогда получим (по - nb)*oA + *°V - Ч> + х) = -f>o - Таким же образом преобразуются остальные члены, и в резуль- тате получим следующие линеаризованные интегралы столкно- вений: = - / ^7^(no ~ dsk G9.9) dNo f = ~&7 / - ep> - 2d3 G9.10) причем в обоих р = р7 + к + b. Эти интегралы естественным образом разбиваются на две ча- сти — линейные интегральные операторы, действующие соответ- ственно на функции if и х- Так, ^+1^рН(х). G9.11) Отметим важное свойство оператора ге К: он не меняет четности функции (^(r/,pi?) по переменной г/, т. е. оставляет четную функ- цию четной и нечетную — нечетной. Действительно, в смысле своего воздействия на функцию от г/ оператор Ie h имеет вид где K(V,V') = Mr/) - no(V)][S(V -т/-ш)- S(r/ -v- ш)]. Заметив, что no(^) = I[l-thi] G9.12) и поэтому щЫ) - Mv) = " fth S- - th -^-1 , UVM UV/; 2 L 2T 2TJ ' мы видим, что 406 МЕТАЛЛЫ откуда непосредственно следует указанное выше свойство опера- тора. Это свойство будет использовано в § 80, 82. Интегралы столкновений G9.9), G9.10) обращаются тожде- ственно в нуль функциями if = const • ?, х — const • ио G9.13) (с одинаковыми коэффициентами const). Это «паразитное» ре- шение кинетического уравнения соответствует (как и решение F7.18) в фонон-фононном уравнении) изменению температуры системы на малую постоянную величину. Но интегралы G9.9-10) обращаются в нуль также и постоянной ер = const G9.14) при х = 0- Это решение связано с постоянством полного числа электронов (в отличие от полного числа фононов); с формальной точки зрения оно отвечает изменению химического потенциала электронов на малую постоянную величину. Для дальнейших количественных оценок напомним, что по- рядки величины параметров электронного спектра в металле выражаются лишь через постоянную решетки d и эффектив- ную массу электрона т*; так, фермиевский импульс (обыч- ные единицы) рр ~ H/d, скорость vp ~ pf/гп* ~ H/(m*d), энергия ?р ~ vfPf ~ fi2 /{m*d2). Параметры фононного спек- тра и электрон-фононного взаимодействия содержат еще и мас- су атомов М. Плотность вещества р со М, а скорость звука иоор~1'2ооМ~1'2] дополнив до нужной размерности с помощью величин Н, с/, 771* (что можно сделать лишь одним способом), по- лучим оценку / $) G9Л5) Отсюда дебаевская температура e Ни (т*\ ' (П(\ л п\ ~Г ~?F[ — ) • G9.16) d \M J В оператор же электрон-фононного взаимодействия масса М входит только через операторы смещения атомов Us F6.2); ни- какой другой малости по 1/М это взаимодействие не содержит — его энергия становится ~ ef, когда Us ~ d. Матричные элемен- ты операторов Us, а с ними и матричные элементы оператора электрон-фононного взаимодействия, со{Мио)~1'2ооМ~1'^ (при заданном квазиимпульсе к частотам ~ икооМ~1/2). Вероятность же рассеяния определяется квадратом матричного элемента. По- этому функция w в интеграле столкновений пропорциональна § 80 МЕТАЛЛЫ ПРИ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУРАХ 407 М/2, или, дополнив до требуемой размерности, w ~ GvFd2. G9.17) Эту оценку надо изменить в случае, если речь идет об испус- кании или поглощении длинноволнового акустического фонона. Тот факт, что в таком случае w пропорциональна /с, означает, что в оценку надо ввести дополнительный множитель fc/A;max ~ kd: w ~ GvFkd3. G9.18)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Электрон-фононное взаимодействие» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
