Кинетические свойства металлов значительно сложнее, чем у диэлектриков, уже ввиду существования в них квазичастиц различных родов — электронов проводимости и фононов. Перенос электрического заряда осуществляется, разумеется, электронами проводимости. Перенос же тепла осуществляется как электронами, так и фононами. Фактически, однако, в до- статочно чистых металлах электроны играют основную роль и в теплопроводности, прежде всего — ввиду того, что их ско- рость (скорость vf на ферми-поверхности) велика по сравнению со скоростью фононов (скоростью звука). Кроме того, при низ- ких температурах электронная теплоемкость значительно боль- ше фононной. Электроны проводимости испытывают столкновения различ- ных типов — друг с другом, с фононами, с примесными атомами (и другими дефектами решетки). Частота столкновений первых двух типов убывает с уменьшением температуры. Поэтому при достаточно низких температурах определяющую роль в кинети- ческих явлениях играет рассеяние электронов на примесях. Эту температурную область называют областью остаточного сопро- тивления. С нее мы и начнем изучение кинетики металлов. Связь электрического тока j и диссипативного потока энергии q7 в металле с электрическим полем Е и градиентом температуры записывается в виде соотношений D4.12), D4.13): G8.1) G8.2) В таком виде они относятся к кристаллам кубической симмет- рии, что и будет предполагаться, для простоты, везде ниже. Для кристаллов не кубической симметрии коэффициенты а, х, а за- меняются тензорами второго ранга. Соотношение G8.2) будет удобнее использовать, выразив в нем j через Е из первого равен- ства: q' = ааТ (е + V^) - (х + Taa2)VT. G8.3) § 78 ОСТАТОЧНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 397 Все сказанное в § 74 о кинетическом уравнении для ферми- жидкости в значительной мере остается в силе и для электрон- ной жидкости в металле. Роль импульса квазичастиц играет те- перь их квазиимпульс, а ферми-поверхность имеет, вообще гово- ря, сложную форму, свою для каждого конкретного металла. Кинетические коэффициенты металла вычисляются в прин- ципе с помощью линеаризованного кинетического уравнения де дг где v = <Эб/<Эр, а интеграл столкновений линеаризован по иско- мой малой функции 8п, определенной согласно G4.13). Диффе- ренцирование по по г можно условно производить при \i = const, так как градиент \i все равно вошел бы в комбинации еЕ + V/i, как должно быть согласно G8.1). Тогда дпо е — ц дпо ~дТ ~ Т ~де и кинетическое уравнение принимает вид - (еЕ + ^VT) v^ = 1{5п). G8.4) Плотность тока и плотность диссипативного потока энергии да- ются интегралами Ш ЧШ G8-5) (вычисляя q7 как поток кинетической энергии е — /i, нет необхо- димости вычитать из него конвективный перенос потенциальной энергии срУ). Характерной особенностью рассеяния электронов проводимо- сти на атомах примесей является его упругость. Ввиду большой массы атомов и их «привязанности» к решетке, энергию электро- на при столкновении можно считать не меняющейся. Покажем, что уже одного только предположения об упругости рассеяния достаточно, чтобы связать простой формулой электро- и тепло- проводность металла. Для этого заметим, что оператор^ упругих столкновений не затрагивает зависимости функции 8п от энергии е\ столкнове- ния лишь перемещают частицы по изоэнергетической поверхно- сти. Это значит, что любой множитель в 5п, зависящий только от ?, может быть вынесен из-под знака /. В свою очередь это позволяет искать решение кинетического уравнения в виде G8.6) 398 МЕТАЛЛЫ где 1(р) удовлетворяет уравнению /A) = -v. G8.7) Вычисленная по распределению G8.6) плотность тока j = -e/{e(El)v + !_?Avr)v} |^. G8.8) Из первого члена находим тензор проводимости оа, = -е J valp — ^. G8.9) В кристалле кубической симметрии аар = а5ар, так что прово- димость 3 J де BтгЙK или, преобразовав интеграл согласно G4.18)-G4.20), 2е2 G8Л0) Интегрирование в Jp производится по всем листам ферми- поверхности в пределах одной элементарной ячейки обратной решетки. Аналогичным образом, из второго члена в G8.8), сравнив его с G8.1) находим ао = 21 /" ЗТ J 7 де BтгйK' где обозначено г/ = е — /i. Интегрирование по с/3]э заменяем ин- тегрированием по изоэнергетическим поверхностям r\ = const и интегрированием по г/. Введя снова обозначение J из G8.10), име- ем 2б / дт1с\ аа = — / J?7 ofr?. G8.11) ЗТ J дг] Функция экспоненциально убывает при г/ —>• =Ьоо; поэтому интегрирование по г/ можно распространить от — оо до оо. Интеграл определяется в основном областью \tj\ ~ T; величина ж:е J(?7) существенно меняется лишь на интервале r\ ~ \i ^> Т. Поэтому достаточно положить т т I dJ J tt JF + Tj . d § 78 ОСТАТОЧНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ 399 При подстановке в G8.11) интеграл от первого члена обращается в нуль ввиду нечетности подынтегрального выражения по г/, а второй член дает ОО ОО OLO = 2е dJ о / 2driQ , 8e dJ f ЗТ c?sf У ^ ЗТ dsF J о о Интеграл + 1 12 О использовав также G8.10), получим Зе По порядку величины |а| ~ Т/(еер). Полож:им теперь Е = 0 и вычислим поток энергии. Снова использовав кубическую симметрию, находим q' = ЗТ —оо Здесь достаточно положить J = Jp, после чего получим q Сравнив это выражение с G8.3) и G8.10) мы видим, что , гг 2 тг2сгТ Н+Таа =-^- Указанная выше оценка а показывает, что член Too? в левой ча- сти равенства мал по сравнению с его правой частью в отноше- нии (Т/ерJ. Пренебрегая им, находим окончательно следующее соотношение между тепло- и электропроводностью: х=— а G8.13) Зе2 v } — закон Видемана-Франца г). Формула вида G8.13) была получена качественно Друде (P. Drude, 1900), впервые сформулировавшим представление об электронах проводи- мости, участвующих в тепловом равновесии металла. Количественный вы- вод в классической статистике был дан Лоренцем (Н.А. Lorenz, 1905), а в статистике Ферми — Зоммерфельдом (A. Sommerfeld, 1928). 400 МЕТАЛЛЫ Снова подчеркнем, что в выводе этого соотношения использо- вана лишь упругость рассеяния электронов проводимости. Про- следив за выводом, легко также заметить, что предположение кубической симметрии лишь упрощало запись формул. В об- щем случае произвольной симметрии кристалла такая же связь G8.13) имеет место между тензорами кар и аа^. Для определения температурной зависимости каждого из ко- эффициентов хиав отдельности надо выписать интеграл столк- новений. Для столкновений с примесными атомами он имеет вид, вполне аналогичный интегралу G0.3) для рассеяния фононов на примесях: Stn = Nnp f'w(p,p')[n'(l-n)-n(l-n')}5(s-e')-0^. G8.14) Множители 1 — n или 1 — nf учитывают принцип Паули — пере- ход может произойти лишь в незанятые состояния; множители же п! или п учитывают, что рассеяние может иметь место лишь из занятого состояния. Как и в G0.3), в интеграле G8.14) под- разумевается, что примесные атомы расположены хаотически, а среднее расстояние между ними много больше амплитуды рас- сеяния; тогда различные атомы рассеивают независимо. В инте- грале G8.14) уже использовано равенство г^(р,р7) = г^(р;,р). К рассеянию электронов проводимости на примесных атомах бор- новское приближение, вообще говоря, неприменимо. Написанное равенство можно обосновать соображениями, использованными при выводе принципа детального равновесия в форме B.8). При этом, однако, подразумевается, что положения, занимаемые ато- мами примеси в решетке металла, обладают симметрией, допус- кающей инверсию. Линеаризация интеграла столкновений сводится к замене разности п'A — п) — пA — п') = п' — п на 5п' — 5п. Уравнение G8.7) принимает тогда вид Nap I w(p,p')(V - 1Ще - е')^ = -v. G8.15) Это уравнение не содержит температуры. Поэтому не будет зависеть от температуры и его решение g(p), а согласно G8.10) и проводимость а. Таким образом, при достаточно низких темпе- ратурах, когда рассеяние на примесях является основным ме- ханизмом электрического сопротивления, сопротивление стре- мится к постоянному (остаточному) значению. Соответственно в этой области теплопроводность ус пропорциональна Т1). 1) В этих рассуждениях подразумевается, что уравнение G8.15) не содер- жит быстро меняющихся вблизи е = ?f величин, что позволяет заменить в G8.9) 1 на If- Это действительно так для рассеяния на обычных примесях, но не на парамагнитных атомах. § 79 ЭЛЕКТРОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ 401 Для грубой количественной оценки остаточного сопротивле- ния можно воспользоваться элементарной формулой D3.7), по- ложив в ней (для электронов в металле) р ~ рр: a^e27V—, G8.16) PF где N — плотность электронов. При рассеянии на примесях дли- на свободного пробега / ~ l/(Nupat), где at — транспортное се- чение рассеяния. Поэтому остаточное сопротивление рост = 1/сг, Nnp(JtPF /70 1 Г7\ Рост ~ eP2jV ¦ G8.17) К сказанному в этом параграфе надо сделать еще следующее замечание. Общее условие применимости кинетического уравне- ния для ферми-жидкости требует, чтобы квантовая неопреде- ленность энергии электрона была мала по сравнению с шириной (~ Т) зоны тепловой размытости распределения Ферми. Указан- ная неопределенность ~ /i/т, где т ~ l/vp — время свободного пробега. Для рассеяния на примесях / ~ 1/GУпрсг^), неопределен- ность Н/т не зависит от температуры и тем самым размывает ферми-границу даже при Т = 0. На первый взгляд отсюда сле- дует, что все проведенное выше рассмотрение ограничено очень жестким условием , G8.18) зависящим от концентрации примесей. В действительности, од- нако, такое ограничение отсутствует (Л.Д. Ландау¦, 1934). Дело в том, что ввиду закрепленности положений примесных атомов и упругости рассеяния электронов на них, вся задача о вычислении электрического тока может быть сформулирована в принципе как квантовомеханическая задача о движении электро- на в некотором заданном сложном, но потенциальном внешнем поле. Для состояний электрона, определенных как стационарные состояния в этом поле, энергия не имеет неопределенности; при Т = 0 электроны будут заполнять область состояний, ограни- ченную резкой ферми-поверхностью — но не в импульсном про- странстве, а в пространстве квантовых чисел движения в этом поле. В такой постановке задачи условия типа G8.18) вообще не возникают.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Остаточное сопротивление» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Формула вида G8.13) была получена качественно Друде (P. Drude, 