Характер поглощения звука в диэлектрическом кристалле су- щественно зависит от соотношения между длиной волны и дли- ной свободного пробега / тепловых фононов. Если длина волны велика по сравнению с / (// <С 1, где / — значение волнового вектора звуковой волны), то применима макроскопическая тео- рия, основанная на уравнениях теории упругости (см. VII, § 35). Согласно этой теории, коэффициент поглощения звука склады- вается из двух членов, определяющихся соответственно тепло- проводностью и вязкостью среды. Оба члена пропорциональны квадрату частоты. Наша цель состоит здесь в определении их температурной зависимости. Теплопроводностный вклад в коэффициент поглощения зву- ка выражается, по порядку величины, формулой1) 7тепл~0/^^, G2.1) uC2 где а — коэффициент теплового расширения тела, С — теплоем- кость единицы объема, р — плотность. При высоких температу- рах, Т ^> в, теплопроводность xcol/T, а С и а от температуры не зависят (см. V, § 65, 67). Поэтому в этой области 7тепл не зависит от температуры. При низких же температурах темпе- ратурная зависимость 7тепл в основном определяется (в идеаль- ной решетке) экспоненциально возрастающей, при уменьшении Т, теплопроводностью. Обратимся к определению вязкостной части коэффициента поглощения звука (А.И. Ахиезер, 1938). Производя макроскопическую деформацию кристаллической решетки, внешнее звуковое поле меняет закон дисперсии фоно- нов. Длина волны тепловых фононов мала по сравнению с дли- ной волны звука; поэтому по отношению к тепловому фонону деформацию можно считать однородной, т. е. считать фонон на- ходящимся в решетке, по-прежнему регулярной, но с несколько измененными периодами. В первом приближении по малой де- формации частота (j(k) фонона в такой решетке связана с его частотой а/0) (к) в недеформированной решетке формулой вида ,/ь.\ №^ (\с\(Л -1-Х ТТ \ (Iе) с)\ где дха ) Мы пишем, для определенности, коэффициент поглощения на едини- це пути. Частотная и температурная зависимости остаются теми же и для коэффициента поглощения в единицу времени, поскольку оба определения отличаются лишь постоянным множителем — скоростью звука. § 72 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ 369 — тензор деформации (U — вектор смещения). Характеризую- щий кристалл тензор \ар зависит, вообще говоря, от к; для длин- новолновых акустических фононов с линейным законом диспер- сии он не зависит, однако, от абсолютной величины к. В скобках в G2.2) должен был бы стоять еще и член ви- да Л rot U, выражающий собой тривиальное обстоятельство: ес- ли деформация приводит к повороту элемента объема решетки (rot U т^ 0), то меняется направление осей (обратной решетки), относительно которых должен определяться квазиимпульс фо- нона в законе дисперсии; член ArotU выражал бы соответству- ющий пересчет к. Мы не пишем этот члена в G2.2), так как заранее очевидно, что он не может отразиться на интересующей нас диссипации энергии в звуковой волне: реальный физический эффект — диссипация — не может зависеть от вектора rot U, отличного от нуля уже для простого поворота тела как целого. Изменение функции распределения фононов, вызванное де- формацией решетки, определяется кинетическим уравнением я -- ¦ ат- ---•> G2.3) где St N — интеграл фонон-фононных столкновений F7.6), а Т — скорость изменения температуры в данной точке кристалла, неизбежно связанная с деформацией. Обычным образом, линеа- ризуя это уравнение и введя функцию \-> согласно определению F7.15), сведем его к виду J^- (\apUap - |) = J(x), G2.4) OUJ \ 1 / где 1(х) — линеаризованный интеграл столкновений F7.17). В левой части производная Со выражена с помощью G2.2); индекс @) у невозмущенной частоты здесь и ниже опускаем. Производную Т можно в принципе выразить с помощью того же тензора \ар. После умножения обеих частей уравнения G2.4) на о;, интегрирования по k-пространству и суммирования по всем ветвям спектра фононов правая часть уравнения обращается в нуль — в силу сохранения энергии при столкновениях. Левая же часть уравнения дает где \ар — усредненный по uj2dN^/duj тензор \ар. В обоих пре- дельных случаях — высоких и низких температур — \ар не за- висит от температуры. Действительно, при Т>9в усреднении существенны фононы с независящим от температуры квазиим- пульсом к ~ fcmax ~ 1/^- При Т <С 0 существенны длинноволно- 370 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII вые акустические фононы, для которых \ар не зависит от /с, и потому усреднение тоже не вносит зависимости от температуры. Обозначив \afi — \а/з = Aq,^, запишем кинетическое уравнение в виде ^п G2.6) Далее, выведем формулу, определяющую диссипацию энер- гии в неравновесном фононном газе. Для этого исходим из вы- ражения энтропии единицы объема бозе-газа (см. V, § 55). Продифференцировав это выражение по времени, находим /^+l^^ G2.8) ^ N Bтг)з о Заменив здесь N интегралом St N (ср. § 4) и произведя опре- деленные переобозначения переменных k, ki, k2 в двух членах выражения F7.6), приведем S к виду + 1)N2N3 - N^N2 + 1)(N3 + l)] Умножив это выражение на Т, получим диссипативную функ- цию — энергию, диссипируемую в единицу времени в единице объема. Подставив сюда N = Nq + SN (с SN, представленным в виде F7.15)) и ограничиваясь первыми, квадратичными, члена- ми разложения по SN, получим glg2g3 glg2g3 х (Nqi + 1)Щ2Щ3(х1 -xi- Хз) / чб • G2<9) Написанных формул достаточно для определения темпера- турной зависимости коэффициента поглощения звука. Рассмот- рим сначала область высоких температур. В этом случае интеграл столкновений 1(х) содержит темпера- туру в виде множителя Т (см. начало § 68). В левой же части ки- нетического уравнения G2.6) имеем uodN^/duo « —Т/ио, причем § 72 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ 371 для основной массы фононов частота о; ~ 6 не зависит от тем- пературы. Таким образом, найдем, что для этих частот X ~ -К/зиа(з. Из выражения G2.9), в котором надо положить Щ « Т/ио ^> 1, найдем теперь, что диссипативная функция не зависит от темпе- ратуры. То же самое относится и к коэффициенту поглощения, получающемуся делением диссипативной функции на независя- щую от температуры величину — плотность потока энергии в звуковой волне. Таким образом, при Т ^> 0 вязкостная, как и теплопроводная части коэффициента поглощения звука не зави- сят от температуры. Для низких температур необходимо прежде всего подчерк- нуть принципиальное отличие от задачи о теплопроводности: конечное значение коэффициента поглощения звука получается уже в пренебрежении процессами переброса (частота которых при низких температурах мала). Напомним, что в случае тепло- проводности отсутствие решения у кинетического уравнения без учета процессов переброса проявлялось в противоречии, возни- кающем при умножении этого уравнения на к и интегрировании по всему фононному спектру: правая часть уравнения обращает- ся в нуль, между тем как левая часть заведомо отлична от нуля (ср. F9.6)). Для уравнения же G2.6) такого противоречия не воз- никает: поскольку его левая часть — четная функция к, то после умножения на к она становится нечетной функцией и интегриро- вание по $ к обращает ее в нуль. При этом подразумевается, что обращается в нуль также и интеграл от члена с оператором про- цессов переброса — интеграл от к/[/(%). Поскольку это не проис- ходит автоматически в силу какого-либо закона сохранения, то тем самым налагается определенное условие на решение кине- тического уравнения — функция х(к) должна быть четной по к (тогда \<lIjj{x) — нечетная функция; легко видеть, что оператор / не меняет четности функции \). Этим требованием устраня- ется произвол, связанный с существованием (в отсутствие про- цессов переброса) нечетного по к «паразитного» решения вида X = kEV, и обеспечивается правильный предельный переход к отсутствию этих процессов. При Т < 6 основную роль в интеграле столкновений (и в диссипативной функции) играют фононы с энергией ио ~ Т. Это — длинноволновые фононы акустических ветвей спектра; их частоты линейно зависят от к, а потому их к ~ Т/и. Соглас- но F6.14), для столкновений таких фононов в интеграле F7.17) функция wcokkik2- Функция распределения Nq зависит только от отношения со/Т, так что при ио ~ Т имеем Nq ~ 1. Интегри- рование производится по d3ki = kfdkidoi, причем по к\ — по 372 диэлектрики области ~ Т. Каждый множитель /с, fci, /С2 вносит, следователь- но, в интеграл по множителю Т, а E-функция — множитель 1/Т. Таким образом, найдем, что весь интеграл в смысле своей зави- симости от температуры оценивается как уТ^. Левая же часть кинетического уравнения G2.6) при ио ~ Т от температуры не зависит. Отсюда находим, что для ио ~ Т После этого аналогичная оценка интеграла G2.9) приводит к результату, что диссипативная функция, а с нею и вязкостная часть коэффициента поглощения звука обратно пропорциональ- ны Т. Таким образом, 7вязкС\^ при Т«в. G2.10) Отсутствие необходимости в процессах переброса приводит к то- му, что эта часть коэффициента поглощения возрастает с пони- жением температуры лишь по степенному, а не по экспоненци- альному закону. Использование в изложенном выводе диссипативной функ- ции позволило избежать вопроса о выражении тензора вязких напряжений в кристалле через функцию распределения фоно- нов; нетривиальность этого вопроса связана с тем, что речь идет о тензоре плотности потока истинного импульса, отнюдь не сов- падающего с квазиимпульсом фононов. Покажем, каким образом это выражение можно в свою очередь получить из вида дисси- пативной функции. Для этого снова исходим из интеграла G2.8), представив в нем на этот раз производную N в виде выражения, стоящего в левой части кинетического уравнения G2.6). Логарифм же в подынтегральном выражении переписываем в виде (см. F7.16)) LiVo В результате находим G2-п) где SN = —xdNo/dui (член же с множителем ио вместо х тож- дественно обращается в нуль в силу определения \а/з). Вместо ^аC — ^аC — ^аC здесь можно писать просто \ар, так как инте- грал с постоянным множителем \ар обращается в нуль в силу налагаемого на SN дополнительного условия F7.14). § 73 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА. КОРОТКИЕ ВОЛНЫ 373 С другой стороны, диссипативная функция (отнесенная к единице объема) выражается через тензор вязких напряжений afao как —crfapUaC (CP- VII, § 34). Сравнение с G2.11) приводит, таким образом, к следующему выражению для тензора вязких напряжений: (В.Л. Гуревич).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поглощение звука в диэлектрике. Длинные волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
