В твердом кристалле фононы образуют разреженный газ, и кинетическое уравнение для них составляется подобно тому, как это делается для обычного газа. Пусть N = Ng(t, r, к) — функция распределения фононов g- го сорта. Кинетические уравнения (для каждого сорта фононов) записываются в виде где и = дио/д\т — скорость фононов. Существенное отличие от ситуации в обычных газах состоит, однако, в том, что столкновения в фононном газе не сохраняют, вообще говоря, ни числа фононов, ни (ввиду наличия процессов переброса) их суммарного квазиимпульса. Единственным зако- ном сохранения остается лишь закон сохранения энергии. Он вы- ражается соотношением V Г ио St N-^- = 0. F7.2) ^ / BтгK V J g Умножив уравнение F7.1) на о;, интегрируя по d3к и суммируя по g, получим закон сохранения энергии в виде — +divq = 0, F7.3) где плотность тепловой энергии кристалла Е и плотность ее по- тока q даются естественными выражениями Е=у u;N^^, q = > / wuN-l^. F7.4) Y-/ B^} g J B^K Интеграл столкновений в F7.1) должен в принципе учиты- вать все процессы, могущие происходить в результате взаимо- действия фононов сорта g со всеми другими фононами. Факти- чески, однако, основной вклад в него возникает от трехфононных процессов, рассмотренных в предыдущем параграфе. Процессы с участием большого числа фононов возникают от следующих членов разложения гамильтониана по степеням смещений ато- мов; эти члены быстро убывают с увеличением их порядка. При- чиной уменьшения является малость отношения амплитуды ко- лебаний ? к постоянной решетки d] в твердых кристаллах оно остается малым при всех температурах, вплоть до температуры плавления 1). Для грубой оценки можно исходить из классиче- Исключение составляет «квантовый кристалл» — твердый гелий. § 67 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОНОНОВ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 349 ского соотношения Moo' ? ~ Т; оценив характерное значение частоты как о; ~ u/d1), найдем что 2 лр Mw2 Как всегда, интеграл столкновений представляет собой раз- ность числа процессов, приводящих (в единицу времени) к появ- лению фононов в заданном состоянии (gk), и числа процессов, уводящих фононы из этого состояния. С учетом лишь трехфо- нонных процессов имеем StN= . .2 glg2 х [(N + l)NiN2 - N(Ni + 1)(N2 + 1)] x [{N + l)(JVi + l)iV3 - NN^Nz + 1)]}^, F7.6) где N\ = TVg^ki), uo\ = o;gl(ki), ... Первый член в фигурных скобках отвечает прямому и обратному процессам (gk) т± (glki) + (g2k2), k2 = k - ki - b; F7.7) множ:итель 1/2 в этом члене учитывает, что ввиду тождествен- ности фононов надо суммировать лишь по половине конечных состояний. Второй же член отвечает процессам (g3k3) ^ (gk) + (glki), k3 = k + ki + b; F7.8) в этом члене множитель 1/2 не нужен, так как один из двух рас- падных фононов задан. Обратим внимание на то, что в подын- тегральном выражении в F7.6) тройные произведения NN1N2 и NNiNs сокращаются. Интеграл столкновений тождественно обращается в нуль рав- новесным распределением фононов — распределением Планка 7V0 = (e^T-l)-1. F7.9) Для интеграла F7.6) в этом легко убедиться прямой проверкой: перемножение множителей дает CJ+^CJ, F7.10) ) В оценках мы будем понимать под и скорость звука, хотя, конечно, буквальный смысл такое отождествление может иметь смысл только для длинноволновых акустических фононов. 350 ДИЭЛЕКТРИКИ ГЛ. VII а в силу закона сохранения энергии экспоненциальный множи- тель в правой части обращается в единицу. Если бы отсутствовали процессы переброса, то сохранялась бы не только суммарная энергия, но и суммарный квазиимпульс фононов. Тогда равновесной являлась бы не только функция рас- пределения F7.9), но и функции No= [exp^^X-l], F7.11) отвечающие поступательному движению (дрейфу) фононного га- за как целого с произвольной скоростью V относительно решет- ки. Это утверждение отвечает общим принципам статистики. В его справедливости можно убедиться и непосредственно: с функ- циями F7.11) в качестве Nq в правой части равенства F7.10) появится еще и множитель V(k-ki -k2) обращающийся в единицу для процессов без переброса, когда k = ki +k2. Но распределение вида F7.11) приводит, разумеется, к от- личному от нуля потоку энергии q. Таким образом, в отсутствие процессов переброса в кристалле было бы возможно существова- ние потока тепла при постоянной вдоль всего тела температуре; другими словами, кристалл обладал бы бесконечной теплопро- водностью. Конечная теплопроводность возникает только в ре- зультате существования процессов переброса1). Для вычисления теплопроводности надо написать кинетиче- ское уравнение для кристалла с медленно меняющейся вдоль его объема температурой. Как обычно, ищем функции распределе- ния фононов в виде JV(r, k) = Щ(к) + SN(r, к), F7.12) где SN — малая поправка к равновесной функции. Кинетические уравнения принимают тогда вид (иУГ)^ = 7(Ш), F7.13) где IFN) — линеаризованный интеграл столкновений. Функции SN должны удовлетворять еще и дополнительному условию г) Квантовая теория теплопроводности диэлектриков, основанная на ки- нетическом уравнении для фононов, была построена Пайерлсом (R. Peierls, 1929). Им же была впервые указана роль процессов переброса для кинети- ческих процессов в твердых телах. § 67 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ ФОНОНОВ В ДИЭЛЕКТРИКЕ 351 означающему, что возмущенные функции распределения долж- ны приводить к тому же значению плотности энергии решетки, что и равновесные функции. Как уже было отмечено в § 6, этим условием по существу устанавливается смысл определения тем- пературы в неравновесном теле. Что касается других условий, которые налагались на SN в § 6, то в случае газа фононов (в отличие от обычного газа) эти условия отсутствуют. Число ча- стиц в фононном газе вообще не является заданной величиной, а устанавливается температурой. Суммарный же истинный им- пульс (не квазиимпульс!) фононов в кристалле автоматически равен нулю; противное означало бы течение твердого тела, за- ведомо невозможное для идеальной (без дефектов) кристалли- ческой решетки. Каждый атом в решетке совершает лишь фи- нитное движение — колебания вблизи узлов решетки; средний импульс такого движения тождественно равен нулю. Таким об- разом, поток фононов (связанный с потоком энергии) в твердом кристалле не сопровождается переносом массы1). Выпишем в явном виде линеаризованный интеграл столкно- вений F7.6). При этом целесообразно ввести вместо SN новые неизвестные функции х согласно определению Х Х- (б715) дои Т Проведение линеаризации упрощается, если заметить, что S^L- = -^*. F7.16) 1+iV 1 + iVoT v У Напишем выражение в квадратных скобках (например, в первом интеграле в F7.6)) в виде V В вынесенных из квадратных скобок множителях можно прямо положить N = Nq. Разность же в квадратных скобках дает где учтено равенство N01 N02 _ No N01 + 1 7VO2 + 1 1 + No ) В отличие от жидкости, где импульс фонона является истинным им- пульсом и поток фононов связан с переносом массы. Движение атомов в жидкости инфинитно: за достаточное время каждый атом может попасть в любую точку ее объема. 352 диэлектрики Таким образом, интеграл столкновений приводится к виду StN « 1(х) = - / (- y^^(ki,k2;k)iVo(iVoi + l)(iV02 + 1)х Т J 12 *-^ glg2 — w)(xi + Х2 — х) + У^ г^(к, ki; ks)iVoiVoi(iVo3 + 1) gigs ' J37"r. F7.17) Обратим внимание на то, что функция х(к) входит в подынте- гральные выражения в виде простых сумм ее значений для раз- личных к (подобно тому, как это было в классическом интеграле столкновений в газах F.4), F.5)). Уравнение F7.13) имеет очевидное решение X = const -ш, F7.18) тождественно обращающее в нуль интеграл F7.17) в силу со- хранения энергии при столкновениях. Как уже было объясне- но в § 6, это «паразитное» решение отвечает просто изменению температуры на малую постоянную величину; оно исключается наложением дополнительного условия F7.14). Другое же «паразитное» решение X = bSV F7.19) (<$V — константа), отвечающее малому изменению скорости дви- жения фононного газа как целого (ср. F.6)), исключается уже существованием процессов переброса, нарушающих сохранение суммарного квазиимпульса фонона.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Кинетическое уравнение для фононов в диэлектрике» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
