Вся изложенная в § 61-63 теория относилась к однородным средам, бесконечно протяженным по крайней мере в одном на- правлении (ось х). При применении к реальным ограниченным системам это значит, что пренебрегается эффектами, связанны- ми с отражением волн от границ; другими словами, такая теория ограничена временами порядка величины времени распростране- ния возмущения по длине системы. Рассмотрим теперь вопрос об устойчивости в обратной ситуа- ции, когда конечность системы существенна и спектр ее собствен- ных колебаний определяется граничными условиями на концах (при этом мы по-прежнему ограничиваемся одномерным случа- ем; длину системы вдоль оси х обозначим через L). Спектр ча- стот конечной системы дискретен, и, если хотя бы одна из соб- ственных частот имеет положительную мнимую часть, система неустойчива. Различие между случаями абсолютной и конвек- тивной неустойчивости теряет здесь смысл. Таким образом, вопрос о выяснении устойчивости или неустойчивости конечной системы эквивалентен вопросу о на- хождении спектра ее (комплексных) собственных частот. Дис- персионное уравнение, определяющее эти частоты, может быть установлено в общем виде для системы хотя и конечных, но до- статочно больших размеров L: Im|fc| • L ^> 1 (А.Г. Куликовский, 1966). Пусть к(ш) — решения дисперсионного уравнения неограни- ченной среды; ветви этой многозначной функции снова разобьем на две категории, к+(ш) и к-(ш), определенные в § 63. Собствен- ные колебания конечной системы можно рассматривать как ре- зультат наложения бегущих волн, отраженных от двух ее границ (в среде без поглощения и усиления это были бы обычные стоячие волны). Отра- к+ жение сопровождается, вообще говоря, взаимным превращением волн, относя- % щихся к различным ветвям спектра. По- этому бегущая волна заданной частоты представляет собой суперпозицию всех х~° X~L ветвей. Но вдали от границ основной вклад в каждую волну дает лишь один Рис- 26 из членов суперпозиции. Так, для вол- ны, распространяющейся от левой границы, х = 0 (рис. 26), в положительном направлении оси х асимптотическое выражение вдали от этой границы имеет вид ф = аех.р{г[к+(ш)х — cot]}, F5.1) причем в качестве к+(оо) должна быть выбрана та из ветвей § 65 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ КОНЕЧНЫХ СИСТЕМ 341 этой категории, для которой Imk+(ui) имеет (при заданном ве- щественном to) алгебраически наименьшее значение1). После отражения от правой границы (х = L) волна распро- страняется влево и на достаточно больших расстояниях от этой границы имеет асимптотический вид ф = i?2ttexp{ifc+(o;)L}exp {г[к-(и))(х — L) — out]}, F5.2) где k-{uS) — та из ветвей этой категории, для которой 1т к-(ш) имеет алгебраически наибольшее значение. Коэффициент же R2 зависит от закона трансформации волн на данной конкретной границе. Наконец, после второго отражения — на этот раз от левой границы — снова получим волну, распространяющуюся вправо: ф = R1R2aSk+-k->>LSk+x-U3t\ F5.3) Ввиду однозначности ф(г,х) выражение F5.3) должно совпадать с F5.1). Отсюда находим равенство R1R2exp{i[k+(ou) - k_(uo)]L} = 1. F5.4) Оно определяет спектр частот uj конечной системы, т. е. является ее дисперсионным уравнением. Взяв модуль от обеих частей этого уравнения, имеем |i?ii?2|exp{-Im(A;+ - ?;_)?} = 1. F5.5) При L —>• оо экспоненциальный множитель стремится к 0 или к оо (в зависимости от знака разности Im(A;+ — к-)). Поэтому для достаточно длинных систем равенство F5.5) возможно только, если Im [fc+ (ш) - к- (о;)] = 0. F5.6) Таким образом, в этом случае дисперсионное уравнение сводится к виду, зависящему только от свойств среды самой по себе и не зависящему от конкретного характера условий на ее границах. Уравнение F5.6) определяет некоторую кривую на плоскости uj\ на этой кривой лежат очень близкие друг к другу (при боль- ших L) дискретные собственные частоты. Если эта кривая хотя бы частично лежит в верхней полуплоскости — система неустой- чива. В связи с тем, что эта неустойчивость обуславливается свойствами системы в целом, ее называют глобальной. х) То есть это — наименьшее положительное значение, если все +() > 0, или же наибольшее по абсолютной величине отрицательное значение, если существуют ветви, для которых Im к+(и)) < 0. В первом случае F5.1) — наименее быстро затухающая (с расстоянием х) волна, а во втором — наи- более быстро усиливающаяся. 342 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ Сделаем еще несколько замечаний о связи глобальной неустойчивости конечной системы с неустойчивостью бесконеч- ной среды. Прежде всего, легко видеть, что при наличии гло- бальной неустойчивости бесконечная система заведомо неустой- чива: существуют такие вещественные значения /с, для которых Imui(k) > 0. Действительно, по определению функций k+(ui) и к-(оо) их значения при Imo; —>• оо лежат в различных полуплос- костях к. Условие же F5.6) означает, что по мере уменьшения Imo; точки к+(ио) и к-(со) могут попасть в одну и ту же полуплос- кость, причем (в случае глобальной неустойчивости) это проис- ходит еще при Imo; > 0. Следовательно, еще раньше (т. е. заве- домо при Im uj > 0) по крайней мере одна из этих точек пересечет вещественную ось, что и требовалось. Обратное утверждение справедливо, однако, лишь для абсо- лютной (но не конвективной) неустойчивости бесконечной сре- ды: наличие абсолютной неустойчивости достаточно для суще- ствования также и глобальной неустойчивости конечной систе- мы. Действительно, условие абсолютной неустойчивости состоит в существовании точки ветвления функции к(оо) при Imo; > 0, причем сливающиеся ветви относятся к категориям к+ и /с_; в такой точке заведомо выполняется также и условие F5.6). Конвективно же неустойчивая среда при наличии границ мо- жет оказаться как неустойчивой, так и устойчивой.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивость конечных систем» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
