Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра колебаний
Применим развитый в § 62, 63 общий метод к исследованию неустойчивости, возникающей благодаря «взаимодействию» ко- лебаний с близкими значениями ио и /с, относящихся к двум вет- вям колебательного спектра бездиссипативной системы; под без- диссипативностью подразумевается здесь отсутствие как истин- ной диссипации, так и затухания Ландау. Если бы две ветви ио = ио\(к) и ио = ио2(к) были полностью независимы, то это значило бы, что дисперсионное уравнение распадается на два множителя: [ио - ил(к)}[со - ио2(к)] = 0. F4.1) Вблизи точки пересечения таких ветвей функции uii(k) и ио2(к) имели бы в общем случае вид ko), _ ^ ио2(к) = со>о + v2{k - ко), где г>1, г>2 — некоторые постоянные, a ljq и ко значения (веще- ственные!) со и к в точке пересечения. Такой случай, однако, вообще говоря, нереален. Связь между двумя ветвями могла бы строго отсутствовать, в лучшем слу- чае, при каких-то специфических значениях параметров систе- мы, но появилась бы уже при малейшем их изменении г). Для от- ражения реальной ситуации надо поэтому учесть наличие слабой связи между ветвями. Она проявляется в замене нуля в правой части уравнения F4.1) на некоторую малую величину е. Тогда дисперсионное уравнение вблизи этой точки примет вид [ио -иоо- vi(k - ko)][w — wo — V2(k - ко)] = e. F4.3) Исключение составляют случаи, когда взаимодействие отсутствует в силу требований симметрии, например, если одна ветвь относится к про- дольным, а другая — к поперечным волнам в изотропной среде. Поскольку в изотропной среде продольный ток не может индуцировать поперечное по- ле и наоборот, то такие волны не взаимодействуют друг с другом. Ситуация здесь аналогична той, которая имеет место в квантовой механике для пере- сечения термов различной симметрии (см. III, § 79). 64 НЕУСТОЙЧИВОСТЬ ПРИ СЛАБОЙ СВЯЗИ 337 Его решение относительно ио\ и(к)-со0 = 1-{(v1+v2)(k-k0)±[(k-k0J(vi-v2J+4e}1/2}, F4.4) а относительно к: к{ио) -ко = ± [(со — coq) (vi — v2) + Aeviv2] ' }. F4.5) Наличие связи между ветвями сдвигает точку их пересечения в комплексную область. Зависимости же со(к) для вещественных со ж к имеют различный характер в зависимости от знака посто- янной е и относительного знака постоянных v\ и v2. Эти зависи- мости изображены на рис. 23 для следующих случаев: а) е > О, vxv2 > О, б) е > О, vxv2 < О, в) е < 0, vrv2 > 0, г) ? < 0, ^2 < 0. 1 ' } Рассмотрим эти случаи поочередно. а) Здесь функции ио(к) вещественны при всех (веществен- ных) /с, так что система устойчива. Вещественны также функции к(ио) при всех со, так что при всех со волны распро- а // б страняются не усиливаясь. /; /j б) Функции со(к) ве- щественны при всех /с, _ так что система устойчи- г ва. Функции же к(со) ком- плексны в области частот I/ 1л F4.7) Ввиду устойчивости систе- мы, в этой области имеет место непропускание. в) При (А:-А;оJ< CO-COq ц СО-СОо к-ко Рис. 23 -V2J F4.8) функции со (к) комплексны, причем для одной из них 1т со (к) > 0, т. е. имеет место неустойчивость. Эта неустойчивость — конвек- тивная; действительно, при ио\ оо корни к(ш) имеют вид 7 UJ 7 UJ ГЪ г^/ , Гъ г^/ V2 F4.9) и при Imo; —)> 00 оба лежат в одной и той же полуплоскости к. Пусть г>1, v2 > 0; тогда эта полуплоскость — верхняя и корни 338 ТЕОРИЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЕЙ относятся к категории k+(ui). При вещественных же ио в области F4.7) корни к(ио) составляют пару комплексно-сопряженных ве- личин. Тот из них, для которого Imk(oj) < О, перешел из верхней полуплоскости в нижнюю. Следовательно, в полосе частот F4.7) имеет место усиление волн, распространяющихся в направлении х > 0. Легко также найти для этого случая определенную, согласно F2.14), «групповую скорость» волн — скорость системы отсчета, в которой имеет место абсолютная неустойчивость с максималь- ным инкрементом. Продифференцировав уравнение F4.3) по к и подставив, согласно F2.13), F2.14), duo/dk = V, получим V -vi _ и - up - vi(k - кр) /g . , qx V — V2 CJ — CJo — V2 (k — ко) Поскольку левая часть этого равенства вещественна, то должна быть вещественной (при комплексном ио) также и правая часть. Из этого условия находим, что к = &о, после чего из F4.10) на- ходим скорость 2 v а из F4.3) — соответствующий максимальный инкремент (Imo;)max = lei1/2. F4.12) г) Функции к(ио) вещественны при всех (вещественных) о;, но функции ио(к) комплексны в области F4.8), так что система неустойчива. Для выяснения характера этой неустойчивости за- мечаем, что согласно F4.9) (при различных знаках v\ и V2) при Imo; —>> 00 корни к(ио) лежат в различных полуплоскостях. Эти два корня имеют точку слияния в верхней полуплоскости ио при оо = иос = ojq + 2i vVlV2? ^ F4.13) \vi - v2\ Это значит, что неустойчивость — абсолютная, с инкрементом Imo;c. При v\ = —^2, что соответствует картине возмущения в системе отсчета, движущейся со скоростью F4.11), инкремент достигает максимального значения F4.12).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Неустойчивость при слабой связи двух ветвей спектра колебаний» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Исключение составляют случаи, когда взаимодействие отсутствует в 