Учет теплового движения частиц плазмы приводит к появ- лению у тензора еар антиэрмитовой части. В бесстолкновитель- ной плазме, ввиду отсутствия истинной диссипации энергии, эта часть тензора связана с затуханием Ландау. Мы видели в § 30, что механизм затухания Ландау связан с передачей энергии электромагнитного поля частицам, движу- щимся в фазе с волной: в затухании участвуют частицы, для которых uj = kv, т. е. проекция скорости v на направление к совпадает с фазовой скоростью волны uj/k. В магнитоактивной плазме это условие несколько меняется: должны совпадать про- екции скорости частицы и фазовой скорости волны на направле- ние постоянного поля Bq: vzkz = uj. E5.1) Действительно, поперечное по отношению к Bq движение части- цы происходит по круговым траекториям и не может сопровож- даться систематической передачей энергии от поля к частице: если на одной части круговой траектории частица движется в фазе с волной и получает от нее энергию, то на противополож- ной части траектории такая же энергия будет отдана частицей полю. В магнитоактивной плазме, однако, существует еще и другой механизм бесстолкновительной диссипации, связанный именно с ларморовым вращением частиц. В системе координат, движу- щейся вдоль поля Bq вместе с частицей (со скоростью vz), по- следняя движется по круговой орбите с частотой со в- Такая ча- стица представляет собой, в электродинамическом отношении, осциллятор, излучающий на частоте со в (магнитотормозное из- лучение). Напротив, будучи помещен в переменное внешнее поле, осциллятор поглощает на этой же частоте. Частота электромаг- нитной волны в движущейся (относительно плазмы) системе ко- ординат, измененная эффектом Допплера, равна uj' = uj — kzvz. § 55 ЗАТУХАНИЕ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ 277 Поэтому в указанном поглощении будут принимать участие ча- стицы, для которых ио — kzvz = иов- Если к^ = 0, то поле волны однородно в поперечных (к Bq) направлениях, т. е. действующая на осциллятор вынуждающая сила не зависит от его координат. Именно в таких условиях ос- циллятор поглощает только на своей частоте со в- Если же k_L 7^ О? то вынуждающая сила зависит от координат осциллятора, в ре- зультате чего появляется поглощение также и на кратных часто- тах, т. е. при условиях ио — kzvz = тиов-) E5.2) где п — любое (положительное или отрицательное) целое чис- ло. Описанный механизм диссипации называют циклотронным затуханием Ландау] в зависимости от значения п говорят о за- тухании на простом (п = =Ы) или кратном циклотронном резо- нансе. Таким образом, значительное затухание может иметь место в областях частот, в которых \u-nuB\<\kz\vT, n = 0,±l,±2,... E5.3) (значение п = 0 отвечает условию E5.1)). Эти линии резонансно- го поглощения существуют как на электронных, так и на ионных частотах иове и ^Вг- С математической точки зрения условиям E5.1), E5.2) от- вечают полюсы, которые в этих точках имеют различные члены разложения функции распределения в ряд Фурье E3.14)—E3.16). Антиэрмитовы части тензора еар возникают от вычетов при об- ходе этих полюсов в интеграле E4.1) по правилу Ландау. Переход к пределу Bq —>• 0 имеет математически своеобразный характер. В магнитном поле «полюсные» значения vz (при заданном kz) образуют дискретную последовательность, определяемую урав- нением E5.2). По мере уменьшения поля полюсы сближаются и в пределе Bq = 0 полюсные значения vz зависят уже не от дискретного номера п, а от непрерывного параметра k^v^, в со- ответствии с условием со = kv = kzvz + k^v^ (как это показано при переходе от E3.12) к E3.13)). Вычислим, для примера, тензор диэлектрической проницае- мости в области простого (п = 1) циклотронного резонанса элек- тронов. Будем считать также, что Тогда можно воспользоваться для функции распределения всего одним членом ряда Фурье — выражением E3.19), соответствую- щим данному значению п. При этом, в силу второго условия 278 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V E5.4), эта функция может быть разложена по степеням к±. В случае п = I в таком разложении можно ограничиться нулевым членом — в соответствии с тем, что циклотронное поглощение на частоте иове не требует неоднородности внешнего поля в плоско- сти ху. Таким образом, пишем функцию распределения в виде Sf = Qi ... "Bf гг, E5.5) l[kzVz - (Ш- UJBe)] причем 2тг = —^— [ 2-кТшВе J о Написав Ev = Exv± cos т + Eyv± sin т + Ezvz и выполнив интегрирование, получим ^ E5.6) С этой функцией распределения вектор поляризации E4.1) име- ет лишь х- и у-компоненты. После выполнения интегрирования по v± dv± dip они принимают вид X f ( mv2z\ dvz / exp - —- J \ 2T / Vz - (Ш - UJBe )/kz — iOsignkz —оо Интеграл такого вида выражается через определенную согласно C1.3) функцию F. Окончательно находим для компонент ди- электрического тензора1): Е -1-Е -1-ЪЕ ~ П* F ( с-хх 1 — tyy 1 — 1Ьху — —— -г I = , , f . 2ш[ш-шве) \V2vTe\kz\J E5.7) ?zz I = ?xz = ?yZ = U. Антиэрмитова часть этого тензора, описывающая затухание: j Полюс vz = (ш — 0JBe)/kz обходится снизу или сверху в зависимости от знака kz\ это обстоятельство и приводит к появлению знака модуля у kz в аргументе функции. i 55 ЗАТУХАНИЕ В МАГНИТОАКТИВНОЙ ПЛАЗМЕ 279 Эрмитова же часть в непосредственной близости к точке ио = имеет вид е' - 1 = е' - 1 = -г" = -- °хх х °уу * °ху VTe\kz 1. E5.9) В самой этой точке она меняет знак, обращаясь в нуль. Мы видим здесь, каким образом учет пространственной диспер- сии устраняет полюсы диэлектрической проницаемости холод- ной плазмы E2.11): разрывная зависимость, изображенная на рис. 16 штриховыми линиями, заменяется непрерывной зависи- мостью, изображенной сплошной линией1). В пределе \kz\ —» 0 выражение E5.8) сводится к ^-функции: —^ 6{ш - ШВе) 2из E5.10) (действительно, при со — сове Ф 0 функция E5.8) обращается в пределе в нуль; в то же время интеграл этой функции по dcu ра- вен 7r$lg/Bc<j) независимо от значения kz). Этот результат вполне ясен: в отсутствие пространственной дисперсии (к —>• 0) ширина линии по- глощения обращается в нуль и затуха- ние остается лишь при точном совпа- дении си с сове- Формулу E5.10) мож- но использовать вместо E5.8) в инте- гральных по си выражениях. Отметим, что формула E5.10) мо- жет быть получена и непосредствен- но из выражений E2.11) диэлектриче- ской проницаемости холодной плазмы с помощью правила обхода Ландау. Со- гласно этому правилу, при наличии по- люса по частоте со последняя должна пониматься как со + гО. Поэтому фигурирующие в E2.11) полюс- ные множители надо в действительности понимать в следующем смысле: [——» ^1 La; — изве + гО из + изве + ^0-1 ^ис- —>> и по правилу B9.8): [6(U> - UOBe) ~ S(UJ + Шве)]- E5.11) Произведя в E2.11) такую замену, получим E5.10). х) Выражение E5.7) не обладает, естественно, свойством E2.1). Это свой- ство появилось бы лишь при учете наряду с линией поглощения вблизи ш = шВе также и линии вблизи частоты из = —изве- 280 ПЛАЗМА В МАГНИТНОМ ПОЛЕ ГЛ. V При kz = 0 (т. е. при к _L Bq) затухание Ландау в магнитоак- тивной плазме отсутствует: скорость частиц выпадает из усло- вий E5.1), E5.2), и они не могут быть выполнены (кроме как при точном совпадении со с каким-либо псов) )• Подчеркнем, что это свойство связано с нерелятивистским приближением; в релятивистской плазме затухание Ландау (циклотронное) может существовать и при kz = 0. Частота обращения вокруг направ- ления Bq для релятивистской заряженной частицы с энергией е равна (с прежним определением со в)- Это значение должно фигуриро- вать в правой части условия E5.2) вместо сов- В частности, при kz = 0 будем иметь / 9 E5.12) для возможности выполнения этого условия требуется лишь, чтобы было со < псов- Затухание Ландау в магнитоактивной релятивистской плазме может существовать и в пределе к —>• 0 (в отличие не только от магнитоактивной нерелятивистской плазмы, но и от релятивист- ской плазмы в отсутствие магнитного поля). Оно осуществляется за счет частиц, находящихся в простом циклотронном резонан- се с однородным переменным полем (условие E5.12) с п = 1) и существует, следовательно, при частотах со < со в (см. задачу 2).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затухание Ландау в магнитоактивной плазме» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
