Изложенная в § 29-32 теория плазменных колебаний осно- вана на решении кинетического уравнения в линейном прибли- жении теории возмущений. Условие ее применимости состоит в малости поправки к функции распределения 6f B9.2) по срав- нению с невозмущенной функцией /о: еЕ dfo " /о- D9.1) |kv-o;| Эр ^ Для слабозатухающих плазменных колебаний с частотой « Vte и волновым вектором к ^С fie/^Te необходимо, таким образом, чтобы было Для максвелловской плазмы это условие (после возведения обеих его частей в квадрат) можно записать так: — < NeTe. D9.2) 4тг В таком виде оно имеет простой физический смысл: плотность энергии волнового поля должна быть много меньше плотности кинетической энергии электронов плазмы. Условие D9.2) обеспечивает малость поправки 6f для основ- ной массы электронов. Но и при его выполнении существует от- носительно небольшое число частиц, для которых условие D9.1) может нарушаться, — частицы, движущиеся почти в фазе с вол- ной (kv « uj) и тем самым принимающие участие в затухании х) См. IV, (92.16). При переходе от этой формулы к D8.14) учтено также, что при hu <^T = mv%e электрон теряет при излучении лишь малую часть своей энергии. § 49 КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 245 Ландау (резонансные частицы); даже слабое поле может суще- ственно изменить их функцию распределения. Это изменение бу- дет нелинейным эффектом, и потому его характер существенно зависит от спектрального (по ио и по к) состава волнового по- ля; дело в том, что лишь в линейном приближении различные фурье-компоненты поля независимы в своем воздействии на ча- стицы. Мы будем рассматривать здесь электромагнитные возмуще- ния в плазме, представляющие собой совокупность плазменных волн с волновыми векторами, пробегающими непрерывный ряд значений в некотором интервале Ак. Если начальное возмущение содержит широкий спектр вол- новых векторов к rsj VLe/vTe, то затухание Ландау распространя- ется на большое число электронов, находящихся (в смысле воз- действия на них поля) в одинаковых условиях. В результате ис- кажение функции распределения окажется относительно малым при всех скоростях; линейная теория (при условии D9.2)) будет, следовательно, применима для всего хода эволюции возмущения. Напротив, если возмущение содержит волновые векторы лишь в узком интервале Ак вокруг некоторого значения ко, для которого ко <С fle/vTei TO резонансный интервал скоростей элек- тронов |Ду|~Д%~^|Дк|, vo = ^ D9.3) к ко ко ко тоже мал и расположен вокруг значения vq ^> Уте- В затухании Ландау будет, следовательно, участвовать сравнительно неболь- шое число электронов и их функция распределения может в ре- зультате сильно измениться. Количественную теорию этого явления мы изложим для слу- чая, когда возмущение представляет собой почти монохромати- ческую волну, амплитуда и фаза которой модулированы в про- странстве по некоторому статистическому закону. Спектр значе- ний к начального возмущения узок, « 1, D9.4) ко но и в то же время |Ак| 1 D9.5) где (?о — порядок величины амплитуды потенциала электриче- ского поля волн (смысл этого условия выяснится ниже); отме- тим, что в силу D9.2) (где Е ~ к(ро) выражение в правой части неравенства D9.5) мало: ^!Щ- <с 1. Мы будем также считать по- ле в среднем однородным по всему объему плазмы; это значит, 246 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ что квадрат Е2, усредненный по статистическому распределе- нию фаз и интенсивностей волн, не зависит от координат (такое усреднение эквивалентно усреднению по участкам пространства с размерами Ах > 1/|Ак|). Представим поле Е в начальный момент времени в виде ин- теграла Фурье: Е= [вкегкг^-. D9.6) где в силу условия вещественности Е_к = Е?. Предположение D9.4) о характере начального возмущения означает, что интегри- рование в D9.6) фактически ведется лишь в окрестностях точек к = =Ько. Условие же пространственной однородности возмуще- ния легко сформулировать, написав квадратичный тензор ЕаЕр в виде двойного интеграла: После усреднения по статистическому распределению, это выра- жение должно оказаться не зависящим от г1). Для этого сред- нее значение (Е\^аЕу^) должно содержать E-функцию 8(k + k.f). Имея также в виду продольность плазменных волн, напишем (ЕкаЕк,р) = BтгK^(Е2М(к + к'). D9.7) Это соотношение надо рассматривать как определение величин, обозначенных здесь символически через (Е2)к- Отметим, что эти величины вещественны. Выражение D9.7) отлично от нуля лишь при к = — к7 и симметрично по отношению к перестановкам к и к7. Поэтому (Е2)к = (Е2)_к, а перемена знака к эквивалентна комплексному сопряжению. Средний квадрат (Е2) выражается через эти величины согласно (Е2) = /(E2)k —. D9.8) Интегрирование в D9.6), а потому и в D9.8), производится, как уже указывалось, по окрестностям точек ко и —ко. Удоб- 1) Для возмущений рассматриваемого типа интегралы Ек = = J Е(г)е~гкг dx3 фактически расходятся, поскольку Е(г) не исчезает на бесконечности. Это обстоятельство, однако, несущественно для фор- мальных выводов, имеющих дело с заведомо конечными средними квадратами. § 49 КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 247 нее, однако, исключить из рассмотрения вектор —kg, представив D9.6) в виде Е= I Еке*кг^ + к.с, D9.9) где интегрирование производится уже только по окрестности точки к = ко, а к.с. означает комплексно-сопряженное выра- жение. Соответственно D9.8) запишется как (Е2) = 2 I (E2)k0, D9.10) к^ко а соотношения D9.7) — в виде (ЕъЕЬр) = BтгK(Е2)к^ *(к - к'), D9П) {Е\^аЕ\^'(з) = 0. Дальнейшая эволюция возмущения D9.9) со временем пред- ставится выражением Е= I e*(kr-*)Ek(t)^+K.c, D9.12) где оо(к) ~ Ое — частота плазменных волн, а коэффициенты Ek(t) медленно меняются за счет затухания Ландау. В анало- гичном виде представим и функцию распределения электронов = /о(*,р) + { I /к(*,р)ег(кг-^0 + к.с.|. D9.13) Выраж:ение в фигурных скобках представляет собой быстро ос- циллирующую в пространстве и времени «хаотическую» часть изменения функции распределения; она исчезает при статисти- ческом усреднении волн. Член же /о(^р) — медленно меняюще- еся, усредненное распределение1). Наша цель состоит в получении системы уравнений, опреде- ляющих эволюцию усредненных характеристик состояния плаз- мы — функций (Е2)^ и /о(^р). Для того чтобы такая систе- ма могла быть замкнутой, эти характеристики должны охва- тывать собой все электроны, участвующие в интересующих нас нелинейных эффектах. Для этого в свою очередь интервал ско- ростей D9.3), отвечающий разбросу волновых векторов Ак, во Не смешивать его с равновесным максвелловским распределением! 248 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ всяком случае должен широко перекрывать амплитуду колеба- ний скорости электронов под влиянием поля резонансных с ни- ми волн. Именно это условие и выражается неравенством D9.5); (е|(^о|/т) — порядок величины указанной амплитуды. Дей- ствительно, в системе координат, движущейся с фазовой скоро- стью волны, поле последней статично и представляет собой по- следовательность потенциальных горбов с высотой |^о|- В этой системе резонансный электрон совершает колебания между дву- мя горбами, причем его скорость меняется в интервале между / Одно из уравнений, связывающих (Е2)к с /о, выражает собой затухание Ландау каждой из фурье-компонент поля: ^(E2)k = -27k(E2)k, D9.14) at где 7k = 2тг2е2^е I У±±б{ш - kv) dsp D9.15) есть, согласно C2.6) и C0.1), амплитудный коэффициент затуха- ния волн; множитель 2 в правой части уравнения D9.14) связан с квадратичностью величины (Е2)к- Второе уравнение получим, исходя из кинетического уравне- ния бесстолкновительной плазмы: ^/+v^-eE^ = 0. D9.16) dt дг д? v } Применим его сначала в линейном приближении к отдельной фурье-компоненте возмущения. В последнем члене уравнения, уже содержащем малую величину 'E\<ie'l^kr~(Jjt\ полагаем / ~ /о- В первом же пренебрегаем медленной зависимостью /к от t. В результате получим для /к обычное выражение jeE^ D917) и — kv ар причем, как всегда, в дальнейших интегрированиях надо пони- мать со как си + гО. Далее подставим в D9.16) полные выражения Е и / в ви- де D9.12) и D9.13) (с /к из D9.17)) и произведем усреднение по статистическому распределению волн с помощью D9.11). Все ли- нейные по возмущению члены при этом исчезают, квадратичные же члены определят производную dfo/dt в виде dt дррдра J к2 ^ ^kLcj-kv + z0 и - kv - iOl d3k BттK § 49 КВАЗИЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯ 249 Заменив разность в квадратных скобках, согласно B9,8), на 2тг6(ои — kv), получим окончательно df1_^(D^)dh\ /4918ч где D{Hhp) = 2тге2 Г (E2)k^5(w - kv) —. D9.19) Уравнения D9.14) и D9.18) составляют искомую полную систе- му. Основанную на этих уравнениях теорию плазменных волн называют квазилинейной1). Уравнение D9.18) имеет вид уравнения диффузии в про- странстве скоростей, причем D^l играет роль тензора коэффи- циентов диффузии (индекс (н) напоминает о том, что эта «диф- фузия» связана с эффектами нелинейности). Эти коэффициенты как функции скорости электронов отличны от нуля в интервале Av вблизи vo, связанном с разбросом Ак согласно D9.3). В этой обла- сти скоростей и будет происходить диффузия и соответственно возникает искажение функ- ции распределения (остающейся максвеллов- ской для всей остальной массы электронов). Характер этого искажения очевиден из общих свойств всяких диффузионных процессов: диф- фузия приводит к сглаживанию, т. е. в данном случае — к возникновению в «хвосте» функции /о(р) (при v « vq ^> Уте) плато ширины ~ Av, ис> как это изображено схематически на рис. 13. Отметим, что при таком характере искажения изменяется главным образом произ- водная dfo/dp, а само значение /о остается близким к максвел- ловскому. Оценим время релаксации этого процесса, тн. Поскольку речь идет о выравнивании на интервале Ар = гаДг>, то mv0 m2(AvJ D9.20) Для оценки коэффициента диффузии замечаем, что согласно D9.10) (Е2)к( — ) ~ (Е2). Наличие же в подынтегральном вы- / х) Она была развита А.А. Веденовым, Е.П. Велиховым и Р.З. Сагдеевым A961). Уравнения D9.14), D9.18) были независимо сформулированы также Ю.А. Романовым и Г.Ф. Филипповым A961) и Драммондом и Пайнсом (W.E. Drummond, D. Pines, 1961). 250 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ражении в D9.19) E-функции эквивалентно, по порядку величи- ны, умножению интеграла на l/(voAk). Таким образом, 1^ 1^ D9.21) колебаний потенци- 1) Наконец, выразив (Е2) через амплитуду (ро колебани ала (~ к2\(ро\2) и подставив D9.21) в D9.20), найдем1 (Avf D9.22) 7 / I I / \ 9 ^ ' ко(е\(ро\/тJ В изложенном рассмотрении подразумевается, конечно, что время тн мало по сравнению со временем затухания Ландау: тн <С 1/7; в противном случае волны затухнут, прежде чем успеют проявиться эффекты нелинейности. В то же время применимость уравнения D9.14) предполагает малость времени 1/7 по сравнению со временем свободного пробега электронов: 1/7 ^ 1/^е? гДе ve — средняя частота столкновений. Последнее условие, однако, не гарантирует еще законности пренебрежения столкновениями в рассматриваемом явлении (т. е. законности ис- пользования здесь кинетического уравнения в виде D9.16)): для конкуренции с нелинейными эффектами существенно не общее время столкновительной релаксации, а лишь время столкнови- тельной релаксации в интервале скоростей Дг>; обозначим его как тст. Поскольку речь идет о релаксации в интервале Дг>, располо- женном вблизи значения vq ^> Уте и в котором содержится лишь относительно малая доля всех электронов, то ситуация аналогич- на той, с которой мы имели дело в задаче об убегающих элек- тронах. Процесс представляет собой диффузию в импульсном пространстве с коэффициентом диффузии ?)(ст) = m2uee(v)vrP = — — ~ m Vee^VTe>VTe D9.23) mv6 v6 (коэффициент при df/dp в плотности потока в импульсном про- странстве D5.5)). Искомое время столкновительной релаксации в интервале Дг> отличается от D9.20) заменой D^ на D^CT^: m2(AvJ (AvJ п^ v\evee(vTe D9.24) При Av ~ (elifol/mI^2, когда изложенная теория уже, строго го- воря, неприменима (знак ~ вместо знака ^> в D9.5)), эта оценка дает тн ~ kQ1(m/e\(po\I'2. Именно этот результат и следовало ожидать, когда разброс резонансных скоростей Av совпадает с амплитудой скорости элек- тронов при их колебаниях в поле волны: по порядку величина тн совпадает с периодом этих колебаний. § 50 УРАВНЕНИЕ ДЛЯ РЕЛЯТИВИСТСКОЙ ПЛАЗМЫ 251 При тн > тст D9.25) (т. е. Z)(H) <С Z)(CT)) нелинейные эффекты не играют роли: столк- новения успевают поддерживать максвелловское распределение вблизи vq, несмотря на возмущение от волнового поля; соответ- ственно коэффициент затухания Ландау будет даваться обыч- ным выражением, отвечающим максвелловскому значению про- изводной dfo/dp в окрестности vq. Таким образом, неравенство D9.25) есть условие применимости строго линейной теории зату- хания Ландау. Напомним в то же время, что излагаемая квази- линейная теория справедлива при гораздо более слабом условии D9.2). Условие D9.25) можно представить в виде где г/ = e27V1/3/T — параметр газовости. Малость множителя, за- ключенного в квадратные скобки, демонстрирует слабость усло- вия D9.2) по сравнению с D9.25). В обратном предельном случае, при тн <С тст, нелинейные эф- фекты приводят к сильному уменьшению производной dfo/dp в указанной области, грубо говоря, в отношении Z?(CT)/Z?(H). Соот- ветственно уменьшается коэффициент затухания Ландау.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазилинейная теория затухания Ландау» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Не смешивать его с равновесным максвелловским распределением! 