Быстрое убывание кулоновского сечения с увеличением ско- рости сталкивающихся частиц приводит, как мы увидим, к то- му, что уже в сколь угодно слабом электрическом поле функция распределения достаточно быстрых электронов в плазме оказы- вается сильно искаженной. Двигаясь с тепловой скоростью v, за время своего свободного пробега электрон в электрическом поле Е приобретает упорядо- ченную скорость лг eEl eE vsmE mvNecrt(v) 4тге3 LN (сечение at из D1.7)). Уже при v ~ vc, где () V тЕ ) D5.1) скорость V ~ v, а при v > vc длина и время пробега определя- ются уже скоростью V. Импульс, приобретаемый электроном за время пробега, будет при этом eEl eE Vsm2E лт(^ mV — V VNedtiV) 4тге3 LNe \v( Импульс же, отдаваемый электроном при столкновении в кон- це пробега, ~ mV. Отсюда видно, что электроны с достаточ- но большими скоростями будут неограниченно ускоряться; такие электроны называют убегающими. При условии vc ^> (Te/mI'2 это явление будет наблюдаться лишь в «хвосте» максвелловского распределения; электрическое поле должно для этого удовлетво- рять условию Я«Яс = 1![?!р. D5.2) В этих условиях задачу об убегающих электронах можно ре- шать как стационарную. Основная масса электронов, распре- деленных по Максвеллу, играет роль большого резервуара, из § 45 УБЕГАЮЩИЕ ЭЛЕКТРОНЫ 223 которого «течет» стационарный малый поток в сторону больших энергий г). Уже из происхождения убегающих электронов как резуль- тата направленного ускорения их электрическим полем очевид- но, что они движутся в основном под малыми углами в к на- правлению поля. Если, однако, поставить себе целью вычисление лишь величины потока убегающих электронов, полное определе- ние функции их распределения не требуется; достаточно опреде- лить усредненное по углам распределение / по энергиям. Кинетическое уравнение для распределения электронов по импульсам в электрическом поле имеет вид f-eEg + divps = O, D5.3) где s — плотность столкновительного потока в импульсном про- странстве. В сферических координатах р, #, ср в импульсном про- странстве (с полярной осью вдоль силы —еЕ) имеем т-, / cos в д 2 ? 1 д • 2 л ?\ = еЕ р f — sm в • f \ р2 dp J Psm6d6 J J Дивергенция же потока 1 д 2 , 1 д • л s = — —р sp + ——— sine • S0. р2 dp p sm в дв Усредним уравнение D5.3) по углам, т. е. умножим его на 27rsin#d#/D7r) и проинтегрируем. Все члены с производными д/дв при этом выпадают; множитель же cos в можно, в первом приближении, заменить единицей. В результате для усредненной функции / получим уравнение f + e4^P27+^P% = 0. D5.4) at р2 ар р2 ар В нем остается лишь радиальная компонента плотности потока в импульсном пространстве. Эта компонента связана с передачей энергии при столкновениях; вклад ei-столкновений в нее, оче- видно, мал по сравнению с вкладом ее-столкновений. Поскольку убегающие электроны составляют лишь очень ма- лую долю всех электронов, при вычислении потока sp надо учи- тывать их столкновения лишь с основной массой максвелловских 1) Явление убегающих электронов было указано Дрейсером (Н. Dreicer, 1958), а излагаемая здесь количественная теория дана А.В. Гуревичем (I960). 224 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ электронов (а не друг с другом); скорости последних малы по сравнению со скоростями убегающих электронов. В этих усло- виях нет необходимости заново вычислять поток sp. Для него можно написать выражение sp = -Teuee(v)m Ы + J^-f] D5.5) [dp mTe J непосредственно по аналогии с ранее выведенной формулой B2.5); здесь vee(v) = -^—— — частота кулоновских столкнове- m2vs ний быстрых электронов с медленными (ср. D4.3)) х). Поскольку выражение D5.5) относится к электронам со скоростями v ~ vCi то и для кулоновского логарифма полагаем L = \n(mv2ca/e2). D5.6) Величина _ _ Sp = sp + eEf D5.7) представляет собой, как это ясно из вида уравнения D5.4), пол- ную (от столкновений и от действия поля) плотность радиаль- ного потока в импульсном пространстве. Согласно сказанному выше, распределение убегающих электронов можно искать как стационарное, т. е. пренебрегая производной по времени в кине- тическом уравнении D5.4). Тогда 4:7rp2Sp = const = пуб- D5.8) Это равенство (с ~sp из D5.5)) представляет собой дифферен- циальное уравнение, определяющее функцию распределения /. Постоянная же пуб дает искомую величину — полное число убе- гающих (в единицу времени в единице объема) электронов. Введем безразмерную переменную и и безразмерную посто- янную b согласно определению и = р/Рс, Ъ = Е/Ес, рс = (mTe/bI/2. D5.9) Тогда уравнение D5.8) принимает вид _М_A_^у = с (А5.Щ и du (постоянная С отличается от пуб постоянным множителем). По- скольку предполагается, что поле Е <^ Ес, то параметр 6 < 1; При выводе формулы B2.5) были использованы только малость пере- дачи энергии при столкновениях и малость скорости частицы-мишени по сравнению со скоростью налетающего электрона. Для перехода к данному случаю достаточно заменить в B2.5) М на т, а под длиной пробега / пони- мать длину пробега по отношению к ее-столкновениям. § 46 СХОДЯЩИЙСЯ ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ 225 эта величина играет в рассматриваемой задаче роль малого па- раметра, характеризующего степень приближения 1). Решение уравнения D5.10): D5.11) о г где и и О F F = ^ ехрA(^-г/)) D5.12) — решение однородного уравнения. Нормировочный множитель в F определен из условия, чтобы при и —> 0 функция / перехо- дила в максвелловское распределение При и —> оо функция F неограниченно возрастает, между тем как f(u) должна оставаться конечной. Отсюда получаем условие f/F —>> 0 при и —)> оо, из которого определяется постоянная С2): -1 С = Ne /ехр \ — — ( — — и2) \ udu р I 2Ъ \ 2 J i D5.13) Lo Интеграл вычисляется методом перевала путем разложения показателя экспоненты вблизи точки его максимума, и = 1. Та- ким образом, получается следующий закон зависимости числа убегающих электронов от напряженности поля Е: пуб - Neuee(vTe) ехр (-Ц) • D5.14) Предэкспоненциальный множитель написан здесь лишь по раз- мерности; более точное вычисление лежит вне рассмотренного приближения и требует решения кинетического уравнения с са- мого начала с большей точностью.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Убегающие электроны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
При выводе формулы B2.5) были использованы только малость пере- 