Изучение свойств плазмы с учетом столкновений между ча- стицами надо начать с вывода кинетического уравнения для функций распределения электронов и ионов. Специфика этого случая связана с медленностью убывания сил кулоновского взаимодействия между заряженными части- цами. При буквальном применении больцмановского интеграла столкновений это обстоятельство приводит к появлению расхо- димостей в интегралах на больших расстояниях между сталки- вающимися частицами. Это значит, что существенную роль игра- ют именно далекие столкновения. Но на больших расстояниях частицы отклоняются лишь с малым изменением их импуль- сов. Это обстоятельство позволяет придать интегралу столкно- вений вид, подобный тому, какой он имеет в уравнении Фоккера- Планка. В отличие от последнего, однако, интеграл столкновений теперь не линеен по искомым функциям распределения. Но от- носительная малость изменений импульса при столкновениях во всяком случае означает, что описываемый интегралом столкно- вений процесс можно рассматривать как диффузию в импульс- ном пространстве. Соответственно этому интеграл столкновений может быть представлен в виде где s — плотность потока частиц в импульсном пространстве; задача состоит в выражении этого потока через функции рас- пределения. Запишем в виде число столкновений, испытываемых (в 1 с) частицей с импуль- сом р, с частицами с импульсами р7 в интервале d?pf, причем р и р7 переходят соответственно в р + q и р7 — q; здесь учтено уже сохранение импульса при столкновениях. Аргументы ?, г в функ- циях распределения для краткости не выписываем. Частицы р и р7 могут относиться к одному и тому же или к различным ро- дам частиц в плазме (электроны, ионы). Функцию w будем счи- 208 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ тать выраженной через полусуммы импульсов каждой из частиц до и после столкновений и через передаваемый импульс q: w она зависит, конечно, и от родов сталкивающихся частиц. В силу принципа детального равновесия B.8), функция w симметрична по отношению к перестановке начальных и конечных частиц: / I Ч. ^ Ч. \ / i Ч ^ Ч 1 / /11 1 \ Функция w содержит E-функционный множитель, выражающий сохранение энергии при столкновениях (сохранение импульса уже учтено). Рассмотрим единичную площадку, расположенную в некото- рой точке р импульсного пространства (частиц данного рода), перпендикулярную осира. По определению, компонента sa плот- ности потока есть избыток числа частиц (данного сорта), пере- секающих в единицу времени эту площадку слева направо, над числом частиц, пересекающих ее справа налево. Перемещение в импульсном пространстве есть результат столкновений. Если при столкновении частице передается «-компонента импульса qa (Qa > 0), то в результате таких столкновений через площадку пройдут слева направо те частицы, у которых до столкновения эта компонента лежала в пределах от ра — qa до ра. Поэтому пол- ное число частиц, пересекающих площадку слева направо, есть f а >0 Ра Суммирование производится по всем сортам частиц, к которым относятся штрихованные величины (в том числе, конечно, и по заданному сорту, к которому относятся величины без штрихов). Аналогичным образом, число частиц, пересекающих ту же пло- щадку справа налево, можно представить в виде Ра Яа >0 Ра-Яа В силу D1.1), функции w в обоих интегралах одинаковы. По- этому разность этих интегралов содержит в подынтегральном выражении разность § 41 ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ 209 Воспользуемся теперь малостью передачи импульса q (точ- нее, малостью существенных в интегралах значений q по срав- нению ери р7). Разлагая написанную разность по степеням q, получим, с точностью до членов первого порядка, После этого можно уже, с той же точностью, заменить в подын- тегральных выражениях ™ (р + ^ р' - ^5 q) « w(p, р'; q). Интегрирование же по dpai которое производится по малому ин- тервалу между ра~Яа и Ра-) можно заменить просто умножением на величину этого интервала qa. В результате получим D1.2) В силу D1.1), ги(р, р7; q) — четная функция q, поэтому четно и все подынтегральное выражение в D1.2). Это позволяет заме- нить интеграл по полупространству qa > 0 половиной интеграла по всему q-пространству. Переписывая выражение D1.2), введем также в него вместо функции w сечение столкновений согласно wd3q = |v — v;| da. Как уже было объяснено в связи с записью интеграла столкнове- ний в виде C.9), после этого можно считать, что число независи- мых интегрирований уже уменьшено учетом закона сохранения энергии. Таким образом, плотность потока импульса в импульс- ном пространстве для частиц каждого рода принимает вид «° = ? / [/(Р)^ " /'(Р')^1 ВаР6?р\ D1.3) где Bap = lfqaqp\v-vf\da. D1.4) Остается вычислить величины Вар для столкновений частиц, взаимодействующих по закону Кулона. При отклонении на малый угол изменение q импульса стал- кивающихся частиц перпендикулярно их относительной скоро- сти v — v7. Поэтому и тензор Bap поперечен по отношению к вектору v — v7: v's) = 0. D1.5) 210 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ Сразу же отметим, что тем самым автоматически обеспечивает- ся обращение потоков D1.3) в нуль для равновесного распреде- ления всех частиц. С максвелловскими распределениями / и f (с одинаковой температурой Т) подынтегральное выражение в D1.3) становится равным ff(v'p - vp)Baf3 = 0. Вектор v — v7 есть в то же время единственный вектор, от которого может зависеть тензор Вар. Поперечный по отношению к v — v7 такой тензор должен иметь вид ^ (v - v'J где скаляр В = Ваа = - Jg2|v — v'| da. Пусть х — угол отклонения относительной скорости (угол отклонения в системе центра инерции двух частиц). При малых значениях этого угла величина изменения импульса q « /i|v — — v'|x, где /i — приведенная масса частиц. Поэтому В = i/i2|v - v;|3 / х2 da = /i2 где В = i/i2|v - v;|3 / х2 da = /i2|v - v'|3<7t, at = /A - cos x) do w - / x2 da — транспортное сечение. Дифференциальное сечение рассеяния на малые углы в кулоновском поле дается формулой Резерфорда 2@44 2@43 (е, е' — заряды сталкивающихся частиц). Отсюда транспортное сечение j х. Для величин ж:е Вар имеем, следовательно, lv ""v I |_ (v — v7J Интеграл L логарифмически расходится. Расходимость на нижнем пределе связана с физической причиной — медленно- стью убывания кулоновских сил, приводящей к большой веро- ятности рассеяния на малые углы. В действительности, однако, § 41 ИНТЕГРАЛ СТОЛКНОВЕНИЙ ЛАНДАУ 211 в электрически нейтральной плазме кулоновское поле частицы на достаточно больших расстояниях экранируется другими за- рядами; обозначим через Xmin порядок величины минимальных углов, на которых рассеяние еще можно считать кулоновским. Расходимость же на верхнем пределе связана просто с тем, что все формулы были написаны в предположении малости углов и теряют свою применимость при х ~ 1- Имея в виду слабую чув- ствительность логарифма большого аргумента по отношению к небольшим изменениям последнего, можно выбрать пределы ин- тегрирования по оценкам их порядков величины, т. е. написать L = ln(l/xmin). D1.9) Эту величину называют кулоновским логарифмом. Сразу под- черкнем, что такой способ его определения ограничивает все рас- смотрение, как говорят, логарифмической точностью: пренебре- гается величинами, малыми по сравнению не только с большой величиной l/xmin? но и с ее логарифмом. Фактическая оценка Xmin зависит от того, должно ли рассея- ние частиц описываться классически или квантовомеханически (само же по себе выражение D1.8) справедливо в обоих случаях, поскольку чисто кулоновское рассеяние описывается формулой Резерфорда как в классической, так и в квантовой механике 1)). Экранировка кулоновского поля частицы в плазме происхо- дит на расстояниях порядка величины дебаевского радиуса а. В классическом случае Xmin определяется как угол рассеяния при пролете на прицельном расстоянии ~ а. Соответствующее изме- ее' ( \ее'\ нение импульса: q ~ —— ( произведение силы ~ -—L на время av V a2 2 пролета ~ z~—) 2)- Разделив его на импульс ~ /J>v0TH, получим ^отн/ |ее'| л, Xmin ~ . Условие классичности рассеяния дается неравен- ством ^> 1 (см. III, § 127). Таким образом, имеем = In при J—L ^> 1. D1.10) В квантовом случае при рассеянии одинаковых частиц (электронов) должен учитываться обменный эффект. Этот эффект, однако, не меняет предельного вида сечения на малых углах D1.6). 2) Здесь и везде в аналогичных местах ниже vOTU — среднее значение от- носительной скорости двух частиц, |v — v'|. Если частицы одного рода, то г>Отн совпадает со средним значением v. Если частицы различного рода, то г>Отн совпадает с большим изо?;'. 212 СТОЛКНОВЕНИЯ В ПЛАЗМЕ ее В обратном предельном случае, когда _ ' <С 1, рассея- ТШотн ние должно рассматриваться квантовомеханически, в борнов- ском приближении. Сечение рассеяния в этом случае выража- ется через фурье-компоненту рассеивающего потенциала с вол- новым вектором q/й. Вклад в эту компоненту, происходящий от экранирующего «облака» зарядов (с размерами ~ а), становится малым при qa/H > 1; именно это есть в данном случае условие чистой кулоновости рассеяния. Поэтому угол Xmin находится из условия пи -—— пи _L п п Таким образом, в этом случае L ln Л При \ее'\ ~ Шотн оба выражения D1.10) и D1.11), естественно, совпадают. Выпишем теперь окончательное выражение для плотностей потоков в импульсном пространстве, подставив D1.8) в D1.3): х (v ~ v'J<W - (v* - Vg)(p p) d3 / |v — vr|3 Соответствующие кинетические уравнения: ' DL13) (е — заряд частиц, к которым относится функция /, т. е. для электронов надо писать —е, а для ионов ze). Интеграл столкно- вений в логарифмическом приближении для газа с кулоновским взаимодействием между частицами был установлен Л.Д. Ландау A936). Применимость интеграла столкновений Ландау связана с вы- полнением определенных условий. Характерные длины 1/fc, на которых существенно меняется функция распределения, долж- ны быть велики по сравнению с радиусом экранирования a, a характерные интервалы времени 1/ио — велики по сравнению с a/v0TU] в логарифмическом приближении, однако, фактически достаточно потребовать выполнения этих условий в слабой форме ка<1, ои<^ D1.14) а со знаком < вместо <С. Дебаевский радиус а играет здесь ту же роль, которую для нейтральных газов играл радиус действия молекулярных сил.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Интеграл столкновений Ландау» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
В квантовом случае при рассеянии одинаковых частиц (электронов) 