В особенности простое теоретическое описание допускает двухтемпературная плазма, в которой Те>Т;. C8.1) Мы уже видели в § 33, что в этом случае в плазме могут распро- 188 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III страняться незатухающие ионно-звуковые волны со скоростью ~ (Tg/MI/2. Эта же скорость будет вообще характерна для рас- пространения возмущений в плазме. Поскольку в то же время она велика (в силу C8.1)) по сравнению с тепловыми скоростя- ми ионов, то для большинства задач о движении плазмы можно вообще пренебречь тепловым разбросом скоростей ионов. Дви- жение ионной компоненты плазмы будет тогда описываться в «гидродинамическом приближении» скоростью v = v^, задава- емой как функция точки в пространстве (и времени) и удовле- творяющей уравнению М^ = ezE, dt или | + (W)v = ?iE. C8.2) К этому уравнению добавляется уравнение непрерывности ^ + divGV,v) = 0 C8.3) ot и уравнение Пуассона, определяющее потенциал электрического поля <р (а с ним и напряженность Е = —\/(р): - Ne). C8.4) Что же касается электронов, то при движениях плазмы со скоростями v < (Те/МI/2 <С Уте их распределение адиабати- чески следует за распределением поля. Как мы видели в § 36, конкретное выражение для электронной плотности Ne при этом существенно зависит от характера поля. Для поля без потенци- альных ям оно дается просто формулой Больцмана C7.7), так что уравнение C8.4) принимает вид = -4тгеЛГ0 (^ - ее^Те) . C8.5) Уравнения C8.2), C8.3) и C8.5) составляют полную систему уравнений для функций v, N и (р. Она может быть еще упроще- на для квазинейтральной плазмы. В этом случае согласно C7.8) имеем е(^ = Те1п^, еЕ = -Те^ C8.6) Y No Ni V J и C8.2) можно переписать в виде ^ + (vV)v = -^^. C8.7) dt v J м Ni v J Система уравнений C8.3) и C8.7) формально тождественна уравнениям гидродинамики изотермического идеального газа с § 38 ГИДРОДИНАМИКА ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ 189 массой частиц М и температурой zTe. Скорость звука в таком газе равна (zTg/MI/2 — в соответствии с выражением C3.5) для скорости ионно-звуковых волн; дисперсия волн в этом приближе- нии отсутствует. Установленная аналогия с гидродинамикой нуждается в су- щественной оговорке. Как известно, система гидродинамических уравнений далеко не всегда имеет непрерывные во всем про- странстве решения. Отсутствие непрерывного решения в обыч- ной гидродинамике означает образование ударных волн — по- верхностей, на которых физические величины испытывают раз- рывы. В бесстолкновительной гидродинамике не существует ударных волн, поскольку они по самой своей природе связаны с отсутствующей в данном случае диссипацией энергии. Отсут- ствие непрерывных решений означает здесь, что в некоторой области пространства нарушается предположение о квазиней- тральности плазмы. В таких областях (их условно называют бес- столкновителъными ударными волнами) зависимость физиче- ских величин от координат и времени оказывается осциллиру- ющей, причем характерная длина волны этих осцилляции опре- деляется не только характерными размерами задачи, но и вну- тренним свойством плазмы — ее дебаевским радиусом х). Вернемся к более общим уравнениям C8.2)-C8.4), не предпо- лагающим квазинейтральности плазмы. Важным свойством этих уравнений является существование у них одномерных решений, в которых все величины зависят от переменных t и х только в комбинации ? = х — ut с постоянной и. Такие решения описы- вают волны, распространяющиеся со скоростью и без изменения своего профиля. Если перейти к системе отсчета, движущейся относительно исходной системы со скоростью и, то в этой систе- ме движение плазмы будет стационарным. Наиболее интересны- ми из решений этого типа являются решения, периодические в пространстве, и решения, убывающие в обе стороны на бесконеч- ности. Рассмотрим здесь именно последние — так называемые уединенные волны, или солитоны2) (А.А. Веденов, Е.П. Вели- хов, Р.З. Сагдеев, 1961). Обозначив штрихом дифференцирование по ?, получим из C8.2), C8.3) (г; - u)v' = -— у/, (Niv)f (для упрощения полагаем z = 1). г) Понятие бесстолкновительной ударной волны было введено Р.З. Сагде- евым в 1964 г. Фактическое построение такой структуры в некоторых част- ных случаях см. Гуревич А.В., Питаевский Л.П. II ЖЭТФ. 1973. Т. 65. С. 590. 2) От английского слова solitary — одинокий. 190 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Интегрируя эти уравнения с граничными условиями ср = 0, v = 0, Ni = Щ при ? —>> оо, найдем 5* = ?-^. (ЗД Уравнение же C8.4) дает (р" = —4тге(Л^ — 7Ve), или, после умно- жения на 2срг и интегрирования, ч> (pf2 = -8тге f[Ni((p) - Ne((p)] dip. C8.10) о При этом функция Ni(cp) берется из C8.9), a Ne(tp) определяется формулами § 36. Отметим, что в рассматриваемой волне всегда ср > 0, как это видно из C8.8). Потенциальная энергия электрона в таком поле U = — еср < 0, т. е. по отношению к электронам поле имеет характер потенциальной ямы. Уравнением C8.10) задача об определении профиля волны <р(?) сводится к квадратурам. При этом скорость и оказывается непосредственно связанной с амплитудой волны — максималь- ным значением функции <р(?) (обозначим это значение через (рт). Действительно, при ср = срт должно быть срг = 0. При- равняв нулю интеграл в правой части C8.10) (и осуществив в нем интегрирование первого члена), получим уравнение C8.11) которое и определяет в принципе зависимость и от (рт. При этом, очевидно, должно быть 2е^- < 1. C8.12) Ми2 V J Это условие, вообще говоря, устанавливает верхнюю границу возможных значений амплитуды волны срт (а с нею и скоро- сти и). Отметим еще, что для полного пренебрежения столкновения- ми необходимо, чтобы частота поля ио была велика по сравнению с характерными частотами соударений как электронов z/e, так и ионов щ. Но поскольку ve ~ (М/тI12ь>1 ^> щ (см. § 43), то возможна ситуация, когда ve ^> ио ^> щ. В таком случае столкно- вения по-прежнему не влияют на движение ионов, но распреде- ление электронов можно считать больцмановским и при наличии потенциальных ям.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гидродинамика двухтемпературной плазмы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
