Уравнения динамики плазмы допускают далеко идущее упро- щение для категории явлений, в которых характерные масштабы длин и времени удовлетворяют следующим условиям. Характер- ный размер неоднородностей в плазме L предполагается боль- шим по сравнению с электронным дебаевским радиусом: — < 1. C7.1) Скорость же процесса предполагается определяющейся движе- нием ионов, так что характерный масштаб скорости дается вели- чиной VTi, малой по сравнению со скоростями электронов. Дви- жение ионов приводит к медленному изменению электрического потенциала, за которым адиабатически следует распределение электронов. Пусть 6Ne и SNi — изменения плотностей электронов и ионов в возмущенной плазме. Эти изменения создают в плазме сред- нюю плотность некомпенсированного заряда: 5р = e(zSNi — SNe). Потенциал создаваемого этими зарядами электрического поля определяется уравнением Пуассона А<р = -4ne(zSNi - SNe). C7.2) По порядку величины Aip ~ ^/L2. Поэтому zSNl-5Ne 6Ne 4тге?2 Если поле слабо (еср <С Те), то изменение электронной плотности (ср. C6.11)) и тогда - SNe SNe ги L2 « I- C7.4) Это неравенство остается справедливым и в случае сильного воз- мущения, когда eip ~ Те; при этом 6Ne ~ Ne и из C7.3) снова следует C7.4). 186 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Таким образом, возникающая при возмущении некомпенси- рованная плотность зарядов оказывается малой по сравнению с возмущениями плотностей зарядов электронов и ионов в отдель- ности; в таких случаях говорят о квазинейтральной плазме. Это свойство позволяет при изучении рассматриваемого круга явле- ний определять распределение потенциала в плазме, просто ис- ходя из «уравнения квазинейтральности» Ne = zNi C7.5) совместно с кинетическим уравнением для ионов и с уравнением, выражающим «адиабатическое» распределение электронов1). Разумеется, в начальный момент времени — если рассматри- вается задача с начальными условиями — плотности электронов могут быть заданы произвольно и не обязательно удовлетворяют неравенству C7.4). Возникающее при этом большое электриче- ское поле приведет, однако, к движению электронов, которое бы- стро, за характерные «электронные» времена, восстановит ква- зинейтральность (в диффузионном случае этот процесс просле- жен в § 25). Переход от электродинамического уравнения C7.2) к усло- вию C7.5) означает не только существенное упрощение системы уравнений динамики плазмы, но и принципиальное изменение их размерностной структуры. Действительно, потенциал <р входит в кинетическое уравнение и в распределение электронов только в произведении с зарядом е, а в условие C7.5) (в противопо- ложность уравнению C7.2)) заряд вообще не входит. Поэтому заменой е(р^ф C7.6) заряд е вообще устраняется из уравнений, а вместе с ним исчеза- ет также и параметр размерности длины — дебаевский радиус ае. Отсутствие в уравнениях параметра длины делает возмож- ными автомодельные движения плазмы. Такие решения появ- ляются в тех случаях, когда параметры размерности длины от- сутствуют также и в начальных или граничных условиях зада- чи; тогда все функции могут зависеть от координат и времени только в комбинации r/t. Пусть, например, плазма первоначаль- но занимает полупространство х < 0. В момент времени t = 0 «убирается заслонка» и плазма начинает расширяться в пусто- ту. Сначала начинают двигаться электроны, так что электронная г) Подчеркнем, что этот результат сам по себе относится как к бесстолкно- вительной плазме, так и к плазме со столкновениями. Заметим также, что, поскольку вывод неравенства C7.4) не связан с предположением о слабо- сти поля, свойство квазинейтральности имеет место и в тех случаях, когда электромагнитные свойства плазмы не могут быть описаны с помощью ди- электрической проницаемости (т. е. в предположении линейной связи между D иЕ). § 38 ГИДРОДИНАМИКА ДВУХТЕМПЕРАТУРНОЙ ПЛАЗМЫ 187 плотность образует вблизи границы переходный слой с характер- ной шириной ~ ае. За время t\ ^> ае/уте электронное движение затухает и далее электронная плотность следует адиабатически за потенциалом согласно формуле Больцмана. Теперь изменение всех величин определяется движением ионов. Благодаря этому за время ?2 ^> Ue/vTi ^> ae/vTe граница размывается на рас- стояниях, больших по сравнению с ае. К этому времени плазма становится квазинейтральной, а движение автомодельным. Напишем уравнения динамики квазинейтральной плазмы в раскрытом виде, предположив для определенности, что распре- деление электронной плотности везде больцмановское: C7.7) как было показано в § 36, это распределение не нарушается мед- ленно меняющимся полем, если поле не содержит потенциальных ям. Формула C7.7) совместно с условием C7.5) позволяет прямо выразить потенциал через функцию распределения ионов: ф = Ге In ^ = Ге In У- I fi <PPj . C7.8) Подставив же это выражение в кинетическое уравнение для ионов (с самосогласованным полем Е = — V<p), получим f + vfzTepu[ftdp 0. C7.9) at or op or J Отметим, что, несмотря на нелинейность этого уравнения, его решения не зависят от средней плотности плазмы: если /г(?, г) есть решение, то решением будет и С fi с произвольным посто- янным множителем С. Упомянем, что в одномерном случае уравнение C7.9) имеет класс решений, характерных тем, что в них функция /г(?, ж,р) зависит от координаты х и времени t только через посредство некоторой функции %(?, ж): fi = fi[x(t,x),p}- C7.10) Эти решения в известном смысле аналогичны простым волнам обычной гидродинамики.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Квазинейтральная плазма» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
