Рассмотрим вопрос о распределении электронов плазмы в медленно включаемом потенциальном электрическом поле. Пусть L — порядок величины протяженности поля, а т — ха- рактерное время его изменения. Будем считать, что т > L/ve. C6.1) В то же время будем предполагать т малым по сравнению со временем свободного пробега электронов, так что речь идет по- прежнему о бесстолкновительной плазме. В силу условия C6.1) поле можно считать стационарным в течение времени его пролета электроном. С этой же точностью будет стационарной также и функция распределения электронов в поле. Как было указано в конце § 27, решение бесстолкнови- тельного кинетического уравнения зависит только от интегралов движения частицы; для стационарного распределения это могут быть только те интегралы, которые не зависят явно от времени. Мы ограничимся одномерным случаем, когда потенциал по- ля ср зависит только от одной координаты х. Так как движение вдоль осей у и z при этом несущественно, речь будет идти о функции распределения / только по импульсу рх (и по коорди- нате х). В одномерном случае уравнение движения имеет два инте- грала, из которых не зависит явно от времени (в стационарном поле) всего один — энергия электрона е = A + U(x), C6.2) 2т где U(x) = —еср(х) г). Поэтому стационарная функция распре- деления будет зависеть от рх и х только в комбинации C6.2): f = f[e(x,Px)]. C6.3) Вид же функции f(e) должен определяться граничными услови- ями. Пусть поле U(x) имеет вид потенциального барьера (рис. 11а). В этом случае функция f(e) определяется видом распреде- ления электронов, приходящих к барьеру из бесконечности. Так, если по обе стороны вдали от барьера электроны имеют равновес- ное (однородное по пространству) распределение с температурой Те, то и во всем пространстве будет иметь место больцмановское ) Вторым интегралом движения может являться, например, начальное (в некоторый заданный момент времени) значение координаты частицы хо, выраженное в функции от времени и текущей координаты вдоль траектории xo(t,x). 36 АДИАБАТИЧЕСКИЙ ЗАХВАТ ЭЛЕКТРОНОВ 183 распределение: / = ехР -^ C6.4) BтгтТеI/2 Плотность же электронного газа будет распределена везде по формуле Ne(x) = Ще~и^/Т% C6.5) где Щ — плотность вдали от барьера. Пусть теперь поле имеет вид потенциальной ямы (рис. 11 6"). В этом случае распределение электронов с положительной энер- гией е снова определится распределением частиц, приходящих из бесконечности; при равновес- ном распределении на бесконеч- и ности распределение электронов с е > 0 будет больцмановским во всем пространстве. Но помимо ча- стиц с е > О, в этом случае суще- ствуют также и частицы с энер- гией е < 0; эти частицы совер- и шают финитное движение внутри потенциальной ямы — они «захва- чены». На бесконечности частиц 8 с е < 0 нет; поэтому изложен- ные выше соображения, в кото- рых энергия рассматривалась как Рис. 11 строго сохраняющаяся величина, недостаточны для нахождения распределения захваченных ча- стиц. Необходимо учесть также и изменение энергии в не стро- го стационарном поле, в результате чего это распределение ока- зывается, вообще говоря, зависящим от предыстории — от хода включения поля (А.В. Гуревич, 1967). В силу условия C6.1) поле мало меняется за время перио- да финитного движения захваченных частиц. Как известно, в таком случае сохраняется так называемый адиабатический ин- вариант — интеграл 1 Х2 = — -2 $[2m(e-U(t,x))]ll2dx, C6.6) X! взятый между двумя границами движения (при заданных е и t). Эта величина и будет играть теперь роль интеграла движения, через который должна выражаться функция распределения за- хваченных частиц: /захв = /з C6.7) (причем энергия е в свою очередь предполагается выраженной здесь через х и рх согласно C6.2)). Вид же функции C6.7) опре- 184 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III деляется тем, что при медленном включении поля функция рас- пределения будет непрерывной функцией е. Поэтому при гра- ничном значении энергии захваченных частиц функция /Захв(^) должна совпадать с функцией распределения частиц, соверша- ющих над ямой инфинитное движение. Случай потенциальной ямы вида рис. 10 5, однако, в особен- ности прост в виду того, что граничная энергия остается (при по- степенном включении поля) постоянной, равной нулю. Тогда из указанного граничного условия следует, что /захв сводится прос- то к постоянной: /захв = /@), C6.8) где f(s) — функция распределения частиц над ямой. Найдем пространственное распределение электронов в этом случае, если f(s) — больцмановская функция C6.4). Суммируя числа электронов с?>0ис?<0, имеем оо р\ Ne = 2f f(e) dpx + 2f /@) dpx, pi = Bm|?7|I/2 Pi 0 (множители 2 учитывают частицы с рх > 0 и рх < 0). Подставив сюда f(e) из C6.4), получим Ne(t,x) = Щ {е^ [l - Ф (У| где 9 * J-fe-udu. C6.10) v^ о При ( < 1, разложив подынтегральное выражение в C6.10) по степеням и, имеем Поэтому распределение электронов, захваченных в неглубокой яме (\U\ <С Те), дается формулой Первый поправочный член совпадает с тем, что получилось бы из формулы Больцмана C6.5). Но уже следующая поправка от- личается от больцмановской. При ? ^> 1 разность 1 — Ф(?) экспоненциально мала (~ехр( —?2)). Поэтому в случае глубокой ямы (\U\ ^> Те) в § 37 КВАЗИНЕЙТРАЛЬНАЯ ПЛАЗМА 185 C6.9) существен лишь второй член в фигурных скобках, так что Щ1/2. C6.12) 7Tie / С увеличением \U\ плотность возрастает гораздо медленнее, чем это следовало бы по формуле Больцмана.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Адиабатический захват электронов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
