Термодинамически обратимый характер затухания Ландау проявляется в своеобразных нелинейных явлениях, называемых плазменным эхом. Эти явления возникают в результате тех незатухающих осцилляции функции распределения C4.16), ко- торые остаются после бесстолкновительной релаксации возму- щений плотности (и поля) в плазме. Они имеют по существу ки- нематическое происхождение, не связанное с существованием в плазме самосогласованного электрического поля. Мы проиллю- стрируем его сначала на примере газа из незаряженных частиц без столкновений. Пусть в начальный момент времени в газе задано возмуще- ние, в котором функция распределения, оставаясь по скоростям максвелловской в каждой точке пространства, меняется вдоль оси х по периодическому закону Sf = A\ cos k\x • fo(p) при t = 0 C5.1) (в этом параграфе р = mv будет обозначать ж-компоненту им- пульса; функция распределения предполагается уже проинте- грированной по ру и pz). По такому же закону меняется вдоль оси х (в тот же момент t = 0) и возмущение плотности газа, т. е. интеграл f 6f • dp. В последующие моменты времени возмущение 1) Забегая вперед, сразу же отметим, однако, что осциллирующий харак- тер функции распределения при больших t приводит к сильному возраста- нию эффективного числа кулоновских столкновений и тем самым ускоряет наступающее в конечном счете затухание возмущения (см. задачу к § 41). § 35 ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО 177 функции распределения будет меняться по закону <5/ = A± cos[fei(a; - vt)]fo(p), C5.2) отвечающему свободному перемещению каждой частицы вдоль оси х со своей скоростью v. Возмущение плотности, однако, за- тухнет (за время ~ ) ввиду погашения интеграла Г Sf dp за V vrki J счет осциллирующего по скоростям множителя cos[k\(x — vt)] в подынтегральном выражении. Асимптотический закон этого за- тухания при временах t ^> дается выражением kv SN = JSfdpoD exp (-ifc^t2) C5.3) (оценка интеграла производится методом перевала). Пусть теперь в некоторый момент времени t = т ^> функция распределения снова промодулирована с амплитудой А2 и некоторым новым волновым вектором к2 > к\. Возникшее возмущение плотности снова затухнет (за время ~ ), но в момент т' = —к-^т C5.4) возникнет вновь. Действительно, вторая модуляция приводит к появлению в функции распределения (в момент t = т) члена второго порядка вида ?/B) = А±А2 cos(kix — k\vr) cos k2x • fo(p). C5.5) Дальнейшая эволюция этого возмущения при t > т превращает его в JjB) = AiA2f$(p) cos [k\x — k\vt] cos [k2x — k2v(t — r)] = = -AiA2fo(p){cos [(k2 - k\)x - (k2 - k\)vt + k2vr] + + cos [(k2 + k\)x — (k2 + k\)vt + k2vr]}. Теперь видно, что в момент t = т' осциллирующая зависимость от и в первом члене исчезает, так что этот член даст конечный вклад в возмущение плотности газа с волновым вектором к2 — к\. Возникшее таким образом эхо затухнет затем в течение времени 1 , причем последняя стадия этого затухания происхо- дит по закону, аналогичному C5.3). 178 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Перейдем к исследованию этого явления в электронной плаз- ме (R.W. Gould, Т.М. О'Neil, J.H. Malmberg, 1967). Его механизм остается прежним, но конкретный закон затухания меняется из- за влияния самосогласованного поля. Будем считать, что возмущения создаются импульсами неко- торого внешнего (создаваемого «сторонними» зарядами) потен- циала ^ст\ прилагаемыми к плазме в моменты t = 0 и t = т: (^(ст) = (piS(t) cos k\x + (p2d(t — г) cos кэх; C5.6) при этом предполагается, что &2 > &ъ а т 3> ? (гДе kivT j(ki) j(k) — декремент затухания Ландау). Возмущение функции распределения (/ = fo + Sf) удовлетво- ряет бесстолкновительному кинетическому уравнению, которое с учетом члена второго порядка имеет вид dt дх дх dp дх dp При этом потенциал ср возникающего в плазме поля (включаю- щий в себя также и «стороннюю» часть (р(ст;) удовлетворяет уравнению А((р - (^(ст)) = 4тге / Sf dp. C5.8) Будем искать решение этих уравнений в виде интегралов Фурье: Sf = / fuj'k'e х~ш •> J J JUJk ^2 , /// // *ш BтгJ Подставив эти выражения, умножив затем уравнение на e-i(kx-ut) и ИНТегрируя их по dx dt, получим (kv - uj)fuk + екрик^ dp k = Awe J fuk dp - k\{™\ C5.10) где ^ кг) + 5(к - h)} + ж<р2[8(к + k2) + 6(к - k2)]eiujT. § 35 ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО 179 В линейном приближении (т. е. при пренебрежении правой частью в C5.9)) решение этих уравнений есть f A) _ dfo к A) A) _ yffi , ш где е\ — диэлектрическая проницаемость B9.10). Этому решению отвечают возмущения, затухающие от моментов времени t = 0 и t = т соответственно с декрементами 7(^1) и 7(^2)- Во втором приближении надо подставить C5.11) в правую часть уравнения C5.9) и для членов второго порядка в возмуще- ниях функции распределения и потенциала получаются уравне- ния ^^fp=% C5-12) S dp, C5.13) где U = "«/(* " Ы^^й^' C5.14) Интересующий нас эффект — эхо с волновым вектором k2 — ki — будет заключен в членах в правой части C5.12), содержащих 5(к =Ь (&2 — к\)). Соберем такие члены в выражении 1и^. К мо- менту времени t = т возмущение ф^1\ происходящее от прило- женного при t = 0 импульса <pi, уже затухнет. Поэтому заранее очевидно, что при подстановке C5.11) в C5.14) надо учесть в A) (ри^ лишь член с (f2] интересующие нас члены вида к1) C5.15) получатся при этом от членов в /^ , содержащих ц>\. После вы- полнения интегрирования по dk' в C5.14) получим в результате 1) df0 f Z2TP ! > + uj')si(uj', ki)ei(uj - uf, fe)' C5.16) да, переменную интегрирования со' над мать как со' + гО. причем, как всегда, переменную интегрирования ио' надо пони- ) При вычислении следует иметь в виду, что г\ зависит лишь от к и потому в обозначениях этого параграфа (где к = кх) имеем si(uu,—k) = 180 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Интеграл C5.16) можно вычислить с учетом того, что т пред- полагается большим (т ^> , - ). Для этого смещаем в ниж- V k у нюю полуплоскость комплексной переменной uJ контур интегри- рования, «зацепляющийся» при этом за полюсы подынтеграль- ного выражения. Эти полюсы расположены в нулях функций е\ и в точке а/ = — k\v — iO. Первые из них имеют отличные от нуля отрицательные мнимые части (—7(^1) или ~т(^2)M и вклады от них в интеграл (вычеты в полюсах) затухают с увеличением т как е~7Т. Незатухающий же вклад возникает только от веще- ственного полюса а/ = — k\v — гО. Таким образом, получим Uh,k2) в _ C5 \'' О J /7 7\/i7 7 \ ^ 2 dp ?i(—kiv,ki)?i(oj + kiv,k2) Возвращаясь к уравнениям C5.12), C5.13) и подставив из первого уравнения во второе, находим = сю Г J dp kv-u-iO При вычислении производной dl^/dp надо дифференциро- вать только экспоненциальный множитель в C5.17), поскольку kivrr > 1. Собирая теперь полученные выражения C5.15)—C5.18) и со- вершая обратное преобразование Фурье, получим интересующий нас потенциал эха с волновым вектором к% = к? — к\ в виде (p{2)(t,x) = Re{A(t)elk*x}. C5.19) Амплитуду A(t) выпишем сразу в асимптотическом пределе при t — т —>• оо. В этом пределе интеграл по ио определяется выче- том подынтегрального выражения только в полюсе ио = k%v — гО. Окончательно находим л и\ -3 &i&2 / dfo A(t) = -Ше*<рцр2Т^- / -j- Щ J dp exp [—ivks(t — т')] dp где rf = k2 , fe)' C5.20) Это выражение — амплитуда эха — максимально при t = т7, причем максимальное значение пропорционально т, т. е. проме- жутку времени между двумя импульсами. По обе стороны от максимума амплитуда A(t) убывает, но по различным законам. Асимптотически при t — т' —>> оо интеграл C5.20) определяется 35 ПЛАЗМЕННОЕ ЭХО 181 вычетом подынтегрального выражения в его полюсе с наимень- шей по величине отрицательной мнимой частью; этот полюс ле- жит при ei(k%v, к%) = 0, и его мнимая часть 1тг> = — 7(^з)/^з /• По другую же сторону от максимума, при t — т1 —>> — оо, интеграл определяется вычетом в полюсе при ei{—kiv,k\) = 0, для которо- го Imi> = j(ki)/ki (путь интегрирования должен быть при этом смещен в верхнюю полуплоскость комплексного г;). В результате находим, что A(t) со exp[—j(ks)(t — т')} при t — т —>> оо, A(t) со ехр [-^7(А;1)(т/ - t)] при t - т -+ -оо. C5.21) L к\ \ Таким образом, амплитуда эха перед достиж:ением его мак- симума возрастает с инкрементом к^{к\)/ki^ а за максимумом убывает с декрементом 7(^3)• Рис. 10 иллюстрирует рас- смотренное явление: первые две кривые изображают ход изменения потенциала в двух импульсах, приложенных в моменты f = 0 и f = г, а третья кривая — форму эха. Около кривых указаны соот- ветствующий декремент или инкремент. Изложенные расчеты про- изведены в пренебрежении столкновениями. Поэтому ус- ловие применимости коли- чественной формулы C5.20) требует, чтобы к заданному моменту t осцилляции функции распределения не успели еще за- тухнуть под влиянием столкновений. Забегая вперед и восполь- зовавшись результатами задачи к § 41, можно сформулировать это условие в виде u(vT)(kvTJt3 <1, C5.22) где u(vt) — средняя частота кулоновских столкновений элек- трона.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Плазменное эхо» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
= 