Реферати статті публікації

Пошук по сайту

Головна » Реферати та статті » Фізика » Теоретична фізика у 10 томах

Релаксация начального возмущения

Рассмотрим задачу о решении кинетического уравнения с
самосогласованным полем при заданных начальных условиях

Закон C3.5) найден Ленгмюром и Тонксом A926), а необходимость
условия C3.1) указана Г.В. Гордеевым A954).
172 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
{Л.Д. Ландау', 1946). Мы ограничимся случаем чисто потенци-
ального электрического поля (Е = — Vtp) при равном нулю маг-
нитном поле и предположим, что возмущению подвергается толь-
ко электронное распределение при неизменном распределении
ионов.
Будем также считать, что начальное возмущение мало: на-
чальная функция распределения электронов
/@,r,p) = /0(p)+g(r,p), C4.1)
где fo{p) — равновесное (максвелловское) распределение, а
g <С /о- Возмущение остается, конечно, малым и в дальней-
шие моменты времени, так что уравнения можно линеаризовать;
ищем функцию распределения в виде
f(t,r,p) = fo(p) + 8f(t,r,p). C4.2)
Для малой поправки Sf и для потенциала самосогласованного
поля <p(t, r) (величина того же порядка малости) находим систе-
му уравнений, составленную из кинетического уравнения
+1, + еЧ<р± = 0 C4.3)
dt дг др
и уравнения Пуассона
= 4тге / Sf d3p C4.4)
(равновесный электронный заряд компенсирован зарядом ио-
нов).
Поскольку эти уравнения линейны и не содержат координат
в явном виде, то искомые функции Sfucp можно разложить в
интеграл Фурье по координатам и написать уравнения для каж-
дой из их фурье-компонент в отдельности. Другими словами,
достаточно рассматривать решения вида
t, г, р) = /k(t, p)eikr, <p(t, r) = №(i)eikr. C4.5)
Для таких решений уравнения C4.3), C4.4) принимают вид
^ + ikv/k + ie(pkk^- = О, C4.6)
dt dp
k2ipk = -4тге / /к d3p. C4.7)
Для решения этих уравнений удобно воспользоваться од-
носторонним преобразованием Фурье, определив образ /^к (р)
функции /к(^р) как
со
§ 34 РЕЛАКСАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ 173
Обратное преобразование дается формулой
Л(*,р)= / е-^/«(р)^, C4.9)
-оо+го- 27Г
где интеграл берется в комплексной плоскости uj по прямой, па-
раллельной вещественной оси и проходящей над ней (<т > 0),
выше всех особенностей функции fu\^ 1).
Умножаем обе части уравнения C4.6) на e~lujt и интегрируем
по t. Заметив, что
dt
о о
(где gk(p) = /к@, р)), и разделив обе части уравнения на i(kv —
— о;), находим
C4.10)
Аналогичным образом, из C4.7) получим
Подставив f^ из C4.10) в C4.11), получим уравнение уже
(+)
для одного только ^к , из него найдем
Г
J
C4.12)
где введена продольная диэлектрическая проницаемость е\ со-
гласно B9.9). Снова (как и в § 29) введя составляющую импульса
рх = mvx вдоль направления к, перепишем эту формулу в виде
оо
_(+) _ 4тге [ gb(px)dpx /Q/i 1 ол
где
gk(Px) =
г) Преобразование C4.8), C4.9) есть не что иное, как известное преобра-
зование Лапласа
-| гоо+сг
= — / fPeptdP,
О Z7TZ _гоо+сг
в котором переменная р заменена на —iuo и соответственно изменен путь
интегрирования в формуле восстановления функции f{t) по ее образу fp.
174 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
Для дальнейшего определения временной зависимости потен-
циала по формуле обращения
?>k(*) = f / e-^ip^dcj C4.14)
27Г -оо+го-
необходимо предварительно установить аналитические свойства
как функции комплексной переменной со.
Выражение вида
Р^)Ш dt
о
как функция комплексной переменной со имеет смысл лишь в
верхней полуплоскости. То же относится соответственно и к вы-
ражению C4.13). Интегрирование в C4.13) производится по пу-
ти (вещественная осьрж), проходящему ниже полюса ]эж = тио/к.
Мы видели в § 29, что определяемая таким интегралом функция
переменной ио при ее аналитическом продолжении в нижнюю по-
луплоскость имеет особенности лишь в точках, совпадающих с
особыми точками функции g\^(px)- Будем считать, что g\^(px)
как функция комплексной переменной рх есть целая функция
(т. е. не имеет никаких особенностей при конечных рх)\ тогда и
рассматриваемый интеграл определяет целую функцию ио.
В § 31 было отмечено, что проницаемость е\ максвелловской
плазмы — тоже целая функция со. Таким образом, аналитическая
во всей плоскости со функция сршь есть частное двух целых функ-
ций. Отсюда следует, что единственными особенностями (полю-
сами) функции сршк являются нули ее знаменателя, т. е. нули
функции si(uo,k).
Эти соображения позволяют установить асимптотический за-
кон убывания потенциала (fk(t) ПРИ больших временах t. В фор-
муле обращения C4.14) интегрирование производится по гори-
зонтальной прямой в плоскости ио. Однако, понимая под (ршь
определенную указанным образом во всей плоскости аналити-
ческую функцию, мы можем сместить путь интегрирования в
нижнюю полуплоскость так, чтобы не пересечь при этом ни од-
ного из полюсов функции. Пусть Cok = оо'к + ш% — тот из корней
уравнения si(uo,k) = 0, который обладает наименьшей по вели-
чине мнимой частью (т. е. ближайший к вещественной оси). Бу-
дем производить интегрирование в C4.14) по пути, смещенному
достаточно далеко под точку ио = со^ и огибающему эту точку
(а также и другие полюсы, лежащие сверху от него) указанным
на рис. 9 образом. Тогда в интеграле будет существен (при боль-
ших t) только вычет относительно полюса ио^] остальные части
интеграла, в том числе интеграл по горизонтальной части пути,
будут экспоненциально малы по сравнению с указанным выче-
§ 34 РЕЛАКСАЦИЯ НАЧАЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ 175
том благодаря наличию в подынтегральном выражении множи-
теля e~iujt, быстро убывающего при увеличении |Ima;|. Таким
образом, асимптотический закон убывания потенциала дается
выражением
Ы*) ~ е-*"**е-К'1*, C4.15)
т. е. с течением времени возмущение поля затухает экспоненци-
ально с декрементом 7/с — Wk\ Х)-
Для длинноволновых возмущений (кае <С 1) частота ио'к и де-
кремент 7/с совпадают с таковыми для плазменных волн и даются
формулами C2.5), C2.6). Декремент
затухания таких возмущений экспо-
ненциально мал. В обратном же слу-
чае коротковолновых возмущений,
когда кае ~ 1, затухание становит-
ся очень сильным; декремент 7/с даже
велик по сравнению с ио'к 2).
Наконец, остановимся на свойст-
вах самой функции распре-
деления электронов. Искомая функ-
ция /к(?, р) получается подстановкой
C4.10) в интеграл C4.9). Помимо по- Рис' 9
©
люсов в нижней полуплоскости, происходящих от (^к5 подын-
тегральное выражение имеет также полюс в точке ио = kv на
вещественной оси. Именно этот полюс и будет определять асим-
птотическое поведение интеграла при больших t. По вычету в
нем находим
ki C4.16)
Таким образом, возмущение функции распределения не за-
тухает с течением времени. Распределение становится, однако,
все более быстро осциллирующей функцией скорости (период ос-
г) Если начальная функция g^Px) имеет особенность, то в число кон-
курирующих значений ио входят наряду с нулями функции ei(u,k) также
и особые точки функции ^к, возникающие от особенности интеграла в
C4.13). В частности, если g^(px) имеет особенность (например, излом) на
вещественной оси, то и ^к будет иметь особенность при вещественном зна-
чении cj = kvx- Такое возмущение (в бесстолкновительной плазме!) вообще
не будет затухать.
2) Может возникнуть вопрос о том, откуда возникает большое затухание,
если «фазовая скорость» ио'к/к лежит вне основного интервала тепловых ско-
ростей. В действительности, однако, при 7 > и' об отношении а//к вообще
нельзя говорить как о фазовой скорости. Если снова разложить функцию
вида е~ги> е~7 в интеграл Фурье, то в нем будут присутствовать компонен-
ты с частотами во всем интервале от 0 до 7 и соответственно с «фазовыми
скоростями» от 0 до ~ 'У/к.
176 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III
цилляций по скорости ~ l/(kt)). Поэтому возмущение плотности
(т. е. интеграл / fkd?p) затухает, как и потенциал (р^ 1).
Эволюция функции распределения согласно C4.16) относит-
ся ко времени, когда поле можно считать затухшим; формула
C4.16) соответствует просто свободному разлету частиц — каж-
дая со своей постоянной скоростью. Действительно, функция вида
C4.17)
есть решение кинетического уравнения свободных частиц
^Z + v^ = 0 C4.18)
dt dr v J
при заданном начальном (t = 0) распределении по скоростям и
периодическом (соегкг) распределении по координатам.

Ви переглядаєте статтю (реферат): «Релаксация начального возмущения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»