Уже было отмечено, что диэлектрическая проницаемость бесстолкновительной плазмы оказывается комплексной величи- ной (?i = ?/l-\-i?/l/). Отделив мнимую часть с помощью формулы B9.8), имеем е'1 = -4тг2е2 / *1±8{ш - kv) d3p, C0.1) J dp к2 или // 4:7r2e2mdf(px) к2 dpx vx=cu/k C0.2) Как известно, комплексность диэлектрической проницаемо- сти означает наличие диссипации энергии электрического поля в среде. Напомним формулы, определяющие среднюю диссипиру- емую (в единицу времени в единице объема) энергию Q монохро- матического электрического поля. Если это поле представлено в комплексном виде 158 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III то в общем случае анизотропной среды х) Q = ё' \ ^а(ш'к)"?а/з(ш'к)]Вд; C0-3) диссипация определяется антиэрмитовой частью тензора еар. Ес- ли этот тензор симметричен, то антиэрмитова часть сводится к мнимой части и тогда Q = ^-е'^(ш,к)ЕаЕ*р. C0.4) В случае продольного поля здесь остается только мнимая часть продольной проницаемости: Q = ^Ч'|Е|2. C0.5) Подставив сюда C0.2), находим в данном случае 2к2 dpx vx=uj/k Таким образом, диссипация возникает уже в бесстолкнови- тельной плазме; это явление было предсказано Л.Д. Ландау A946) и о нем говорят как о затухании Ландау. Не будучи свя- зано со столкновениями, оно принципиально отличается от дис- сипации в обычных поглощающих средах: бесстолкновительная диссипация не связана с возрастанием энтропии и потому пред- ставляет собой термодинамически обратимый процесс (к этой стороне явления мы вернемся еще в § 35). Механизм затухания Ландау тесно связан с пространствен- ной дисперсией. Как видно из C0.6), диссипация возникает от электронов, скорость которых в направлении распростране- ния электрической волны совпадает с фазовой скоростью волны (vx = ио/к)] о таких электронах говорят, что они движутся в фазе х) Это выражение получается из общей формулы Q = (ЕГ))/4тг, где угловые скобки означают усреднение по времени (см. VIII, § 61). Здесь подразумевается, что Е и D вещественны. Если же Е представлено в ком- плексном виде, то в формулу надо подставить вместо Е полусумму (Е + + Е*)/2. Соответствующий вектор D имеет компоненты а вектор D — iuj f , Усреднив произведение ED и воспользовавшись свойством B8.6), получим C0.3) (ср. ниже примеч. на с. 159). § 30 ЗАТУХАНИЕ ЛАНДАУ 159 с волной1). По отношению к этим электронам поле стационар- но и поэтому оно может производить над электронами работу, не обращающуюся в нуль при усреднении по времени (как это имеет место для других электронов, по отношению к которым поле ос- циллирует) . Поучительно проследить за этим механизмом более детально, выведя формулу C0.6) прямым образом, не прибегая к кинетическому уравнению. Пусть электрон движется вдоль оси х в направленном по этой же оси слабом электрическом поле E(t, х) = Re {E^kx-^et3}- C0.7) множитель е снова описывает медленное включение поля от времени t = — оо. Будем искать скорость vx = w и координату х движущегося электрона в виде w = wo + 5w, х = xq + 5х, где 5w, 5x — поправки к невозмущенному движению xq = wot, происходящему с постоянной скоростью г^о- Линеаризованное по малым величинам уравнение движения электрона: Отсюда dt —v,-u, -— L-uo о ,. m г&(и>о — oo/k) + ^' 8x Re. m [ik(wo — uj/k) + 5]2 Средняя работа, производимая полем над электроном в еди- ницу времени, есть q = —e(wE(t, x)) = —e(wQ + 5w)E(t, xq + Sx)) ~ w -ew0 (-—Sx) - e(Sw \OXo I или, в комплексном виде2), q = -е- Re \Wo5x— + Sw • E*\ . 4 2 I dx0 J ) Отметим в этой связи, что разность и — kv есть частота поля в системе отсчета, движущейся вместе с электроном. 2) Если две периодические по времени величины А л В представлены в комплексном виде (СОе~га)?), то (ReA-ReB) = -{(А +А*)(В + В*)). 4 При усреднении произведения АВ и А*В*, содержащие e~2tujt и е2га)?, обра- щаются в нуль и остается (Re A Re В) = -(АВ* +А*В) = -Re(AB*). 160 БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНАЯ ПЛАЗМА ГЛ. III Подставив сюда Е, Sx, 6w из C0.7), C0.8), после простого при- ведения получим е2 | т^|2 d woS 2т dwo S2 + к2(wo — и/кJ Теперь остается просуммировать q по электронам со всевозмож- ными начальными импульсами рх = оо оо Q = [ ?/(Рх) dPx = -^f- I -—p*——lLdpx J 2 У S2 + k2(w0 -u/kJ dpx — oo —o (ризведено интегрирование по ча ществляется с помощью формулы S2 + k2(w0 -u/kJ dpx — oo —oo (произведено интегрирование по частям). Переход к пределу осу- ф ^ = 7гф) C0.9) 6—)-0 О2 + Z2 и непосредственно приводит к выражению C0.6). В соответствии с обратимым характером бесстолкновитель- ной диссипации, термодинамические условия не требуют поло- жительности величины Q (как это имеет место для истинной дис- сипации). Выражение C0.6) всегда положительно при изотроп- ном распределении f(p) (см. задачу). Для анизотропных распре- делений, однако, Q может оказаться отрицательной величиной — электроны будут в среднем отдавать энергию волне, а не полу- чать ее1). Такие случаи тесно связаны с возможной неустойчи- востью плазмы (см. § 61), и, таким образом, условие Q > 0 (а тем самым и еп > 0) является результатом лишь устойчивости состояния плазмы. С точки зрения описанной выше физической картины затуха- ния Ландау наличие производной df /dpx в формуле C0.6) можно наглядно интерпретировать следующим образом: в обмене энер- гией с полем участвуют частицы со скоростями vXi близкими к cj/kj причем частицы с vx < оо /к получают энергию от волны, а с vx > со/к — отдают энергию волне; волна будет терять энергию, если первых несколько больше, чем вторых.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Затухание Ландау» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
