Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе
В этом параграфе мы рассмотрим флуктуации функции рас- пределения электронов в стационарном неравновесном состоянии слабо ионизованного газа; газ пространственно-однороден и на- ходится в постоянном однородном электрическом поле Е. Мы будем интересоваться лишь временной, но не простран- ственной корреляцией флуктуации. Тогда имеет смысл ввести вместо зависящей от координат точной (флуктуирующей) функ- ции распределения /(?, г, р) усредненную по всему объему газа функцию f(t, р) = — J /(?, г, р) d3x B3.1) (которую мы будем в этом параграфе обозначать той же бук- вой /, без аргумента г); эта функция флуктуирует только со временем. Функция же /(р), по отношению к которой флуктуи- рует /, есть найденное в предыдущем параграфе распределение B2.8). Для рассматриваемой системы представляют особый интерес не столько флуктуации функции распределения самой по себе, сколько связанные с ними флуктуации плотности электрическо- го тока j. Корреляторы этих величин связаны друг с другом оче- видной формулой (Sja(t)Sjp(O)) = e2 f(Sf(t,p)Sf@,p'))vavfpd3pd3pf, B3.2) причем, разумеется, 5} есть флуктуация плотности тока, усред- ненная по объему газа2). г) Отметим, однако, что поправки /2, /з, • • • нельзя было бы определять с помощью уравнения B2.1), так как в этом уравнении использовано фоккер- планковское приближение, в котором величинами высших степеней по т/М уже пренебрежено. ) Такое усреднение соответствует постановке опыта, в котором измеряют- ся флуктуации полного тока в газе: флуктуация полного тока равна флук- туации усредненной плотности тока в данном направлении, умноженной на сечение образца. § 23 ФЛУКТУАЦИИ В СЛАБО ИОНИЗОВАННОМ ГАЗЕ 127 Решение задачи для неравновесного газа основано на указан- ном в § 20 общем методе 1). Согласно этому методу, коррелятор Ef(t,pMf@,p')) удовле- творяет (по переменным t и р) кинетическому уравнению B2.1), которое играет в данном случае роль уравнения B0.13) обще- го метода. Вместе с этим коррелятором такому же уравнению удовлетворяет и функция e(t, p) = I(Sf(t, p) j/(o, P'))v' dV, B3.3) через которую в свою очередь выражается искомый коррелятор тока: e2 = e2fgp(t,p)va d3p. B3.4) Таким образом, имеем уравнение - Nv /[g(t,p, в) - g(t,p, в')] da B3.5) с Б из B2.3). Кинетическое уравнение B2.1) учитывает столкновения элек- тронов только с молекулами, но не друг с другом. Поэтому здесь нет механизма, устанавливающего одновременную корреляцию между электронами с различными импульсами и «начальное» условие для функции g(?, p) будет таким же, как и в равно- весном состоянии. Поскольку речь идет о флуктуации функции распределения, усредненной по всему объему газа, то должно быть учтено постоянство числа частиц (электронов) 2). Согласно B0.17), при таком условии имеем ,Р')> = 1 [7(рЖр - р') - ^- х) Исследование этой задачи Прайсом (P.J. Price, 1959) явилось первым примером вычисления флуктуации в неравновесной системе. Мы следуем здесь изложению В.Л. Гуревича и Р. Катилюса A965). 2) Интересуясь только влиянием на флуктуации неравновесности, связан- ной с наличием поля, мы пренебрегаем флуктуациями полного числа элек- тронов, связанными с процессами ионизации и рекомбинации. Строго эти флуктуации могут отсутствовать в случае, когда все электроны образованы примесями с малым потенциалом ионизации; полное число электронов сов- падает тогда просто с полным числом примесных атомов. Пренебрегается также флуктуациями концентрации нейтральных молекул. Относительная флуктуация этой концентрации заведомо мала по сравнению с такой же для электронов, поскольку концентрация электронов много меньше концентра- ции молекул. 128 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II (Ne — плотность электронов), откуда для начальной функции 7-V), B3.6) где V — средняя скорость электронов в состоянии с распределе- нием /(р). Скорость V направлена, разумеется, вдоль поля Е; напишем ее в виде V = -еЬЕ, B3.7) где b — подвижность. Постоянство полного числа электронов означает также, что f Sf d?p = 0 и потому /g(t,p)d3p = 0. B3.8) Следуя описанному в § 19 методу, совершаем над уравнени- ем B3.5) одностороннее преобразование Фурье: умножаем его на eiujt и интегрируем по t в пределах от 0 до оо. При этом член etujtdg/dt преобразуется по частям с учетом начального условия B3.6) и условия g(oo,p) = 0. В результате получим уравнение - в (ъ±) g(+) - !A to Л (+) + о^Л] Ml -7(p)(v-V), B3.9) где ОО g^+^(o;,p) = f etujtg(t,p) d3p. B3.10) о В силу B3.8), это уравнение должно решаться при дополнитель- ном условии B3.11) /¦ Если решение уравнения B3.9) найдено, то искомое спек- тральное разложение коррелятора токов можно найти простым интегрированием. Действительно, пишем и, поступив затем в точности аналогично выводу A9.14), полу- чим = e2 J{g{+\u,,p)va +gi+H-u,p)vp}d3p. B3.12) § 23 ФЛУКТУАЦИИ В СЛАБО ИОНИЗОВАННОМ ГАЗЕ 129 Ниже будем считать для конкретности, что длина пробега / = const. В равновесном состоянии, в отсутствие электрического поля, функция / есть равновесное максвелловское распределение fo(p). Решение уравнения B3.9) есть тогда (+) = ЕМ ' B3.13) р V 1 — lujl/v в чем легко убедиться, заметив, что f(p-pf)da = atp. B3.14) Если иотр <С 1 (где тр ~ 1/vt — время релаксации по направле- ниям импульса), то в B3.13) можно пренебречь членом —iuol/v в знаменателе. Вычисление интеграла B3.12) приводит тогда к результату Uajfi)w = ^аE, B3.15) где а = e2Nebo — проводимость газа в слабом поле; &о — по- движность в слабом поле, даваемая формулой B2.17). Резуль- тат B3.15) соответствует, конечно, общей формуле Найквиста для равновесных флуктуации тока (см. IX, § 78). Действительно, рассмотрим цилиндрический вдоль оси х объем газа. Поскольку плотность тока уже усреднена по объему, то полный ток J = jxS, где S — площадь сечения цилиндра. Из B3.15) имеем тогда где L = V/S — длина образца, a R = L/aS — его сопротивле- ние 1). При Е / 0 уравнение B3.9) решается последовательными приближениями, подобно тому, как решалось уравнение B2.6). Но в то время, как уравнение B2.6) определяло скалярную функ- цию, уравнение B3.9) написано для векторной функции. Пер- вые члены разложения такой функции (зависящей от двух век- торов — постоянного Е и переменного р) напишем в виде g(+)(cj, p) = h(w,p)n + e{go(w,p) + negl(w,p)}, B3.17) причем gi ^ go (здесь n = р/_р, е = ~Е/Е). Функция же /(р) есть _ /(p) = /o(p) + ne/i(p) B3.18) с вычисленными в предыдущем параграфе /о и Д = *) При сравнении с IX G8.1), надо учесть, что hu <^T и что в силу условия игр ^С 1 дисперсия проводимости отсутствует, так что Z = R. 5 Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц, том X 130 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II Подставим B3.17), B3.18) в уравнение B3.9) и отделим в нем члены, нечетные и четные по р. Снова полагая оотр <С 1, получим, собрав нечетные члены: здесь опущены члены, заведомо малые (в отношении тп/М) по сравнению с написанными. Отсюда Уо(р), gl(u,p) 8f'P)- B3.19) V р dp Что касается четных по р членов, то они должны удовлетво- рять уравнению B3.9) лишь после усреднения по направлени- ям р — в соответствии с тем, что выражение B3.17) дает лишь первые члены разложения искомой функции. После несложного вычисления (с использованием выражений B3.19)) получается следующее уравнение для функции где -zcjgn + U9 S) = — i e^bfo + pfo } , B3.20) p2 <9p V I 3p ^p J с 1^2, ^%o^ e2E2lmdg0 IM \ QU dp J 3p dp Это уравнение надо решать при дополнительном условии /go(",p)d3P = O, B3.21) к которому сводится B3.11) при подстановке в него B3.17). По известной функции g^+^ искомый коррелятор тока опре- деляется формулой B3.12). При подстановке в нее разложения B3.17) и простого преобразования с использованием B3.19) по- лучается uj,p)}^. B3.22) р Член — iuigQ в уравнении B3.20) становится существенным при uj ~ mv/Ml, т. е. при иот? ~ 1, где т? — время релаксации по энергиям электронов. С таких частот начинается, следовательно, дисперсия флуктуации тока. В общем случае уравнение B3.20) очень сложно. Ограничим- ся, для иллюстрации, случаем малых частот, иот? < 1, и силь- ных полей, удовлетворяющих условию 7^1, где j — параметр § 24 РЕКОМБИНАЦИЯ И ИОНИЗАЦИЯ 131 B2.13). В силу последнего условия, функция fo(p) дается выра- жением B2.18). Вычисление интеграла в первом члене в B3.22) дает 23/2 Nee2l UEl\ll2 /M а/335/4ГC/4) V \т) \т ) Во втором члене в B3.22) ограничимся буквенной оценкой. Из уравнения B3.20) (без члена —iuig0) находим оценку еЕ12М Интеграл оценивается затем как v В результате находим для коррелятора тока выражение (jajpjuj ^ ( ) ( ) V V т / \т / где /3 ~ 1 — численная постоянная. B3.23)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации в слабо ионизованном неравновесном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
