Рассмотрим ионизованный газ, находящийся в однородном электрическом поле Е. Поле нарушает равновесное распределе- ние свободных электронов в газе и создает в нем электрический ток. Выведем кинетическое уравнение, определяющее электрон- ное распределение 1). Изложенная в этом параграфе теория принадлежит Б.И. Давыдову A936). Предельная формула B2.18) была еще раньше получена Друйве- стейном (M.J. Druyvesteyn, 1930). § 22 СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 121 Слабость ионизации означает, что концентрация электронов (и ионов) в газе мала. Поэтому основную роль играют столкно- вения электронов лишь с нейтральными молекулами; столкно- вениями же электронов друг с другом (и с ионами) можно пре- небречь. Будем предполагать также, что средняя энергия, при- обретаемая электронами в электрическом поле (даже если поле сильное; см. ниже), недостаточна для возбуждения или иониза- ции молекул; тогда столкновения электронов с молекулами мож- но считать упругими. Ввиду большой разницы в массах электронов т и молекул М, средняя скорость электронов велика по сравнению со средней скоростью молекул. По той же причине импульс электрона при столкновении меняется сильно по направлению, но лишь слабо по абсолютной величине. В этих условиях интеграл столкнове- ний в кинетическом уравнении разбивается в сумму двух частей, представляющих изменения числа частиц в заданном элементе импульсного пространства соответственно от изменения величи- ны и от изменения направления импульса; первая из этих частей может быть представлена в фоккер-планковском дифференци- альном виде. Ввиду симметрии вокруг направления поля, функция распре- деления зависит (помимо времени) только от двух переменных: от абсолютной величины импульса риот угла в между р = mv и направлением Е (которое выберем в качестве оси z). Кинети- ческое уравнение для функции f(t,p,O) имеет вид1) >,0') - f(t,p,6)]da, B2.1) ul up p- up где 26t Первый член в правой части B2.1) отвечает правой части урав- нения Фоккера-Планка B1.12). Второй же член есть интеграл столкновений по отношению к изменению направления импуль- са. В этом интеграле молекулы можно считать неподвижными (N — плотность их числа); тогда число столкновений, испыты- ваемых электроном в единицу времени и меняющих направление импульса от в ж в1 (или от в и #), есть Nvda, где da — сечение рассеяния электрона на неподвижной молекуле, зависящее отри от угла а между рир' (предполагается, что сечение уже усред- нено по ориентациям молекулы). 1) В этой книге е обозначает везде положительную величину — абсолютное значение элементарного заряда. Заряд электрона есть поэтому — е. 122 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II Ниже будет рассматриваться стационарное состояние с неза- висящей от времени функцией распределения, соответственно чему член df/dt в уравнении B2.1) будет опущен. Для вычисления величины В воспользуемся равенством (v-VJ = (v'-VJ, выражающим неизменность величины относительной скорости двух частиц при упругом столкновении (v, V и v', V' - началь- ные и конечные скорости электрона и молекулы). Изменение ско- рости молекулы мало по сравнению с изменением скорости элек- трона: AV = —mAv/M; поэтому после раскрытия написанного равенства можно положить в нем V = V7. Тогда 2V(v - v7) = v2 - v'2 « 2vAv, где Av = v — v' — малая величина. Таким образом, (АрJ = m2(AvJ = — [(VvJ + (Vv'J - 2(Vv)(Vv')l. V2 Усреднение этого выражения осуществляется в два этапа. Преж- де всего, усредняем по распределению (максвелловскому) скоро- стей молекул V. Ввиду изотропии этого распределения имеем (VaVp) = Sap(V2)/3> а средний квадрат (V2) = ЗГ/М. Поэтому получаем (Ар) = (v + v — 2vv ) w A — cos a). B2.2) Mv2 M Теперь надо усреднить по столкновениям, испытываемым элек- троном в единицу времени; это осуществляется интегрированием по Nv da. В результате получим В = Nmv<JtT = v^L B2.3) М Ml' К J где at = /A — cos a) da — транспортное сечение, а / — длина свободного пробега, определенная как / = (Nat)'1 B2.4) (в общем случае / — функция р). Таким образом, фигурирующий в B2.1) поток 8 = -П*(у/ + тЩ. B2.5) мЛ J dPJ v J Обратим внимание на то, что согласно B2.2) изменение энер- гии электрона при столкновении As ~ vAp ~ T(m/M)ll2 ~ ~ ^(гп/МI'2. Поэтому заметное изменение этой энергии про- исходит лишь в результате ~ М/гп столкновений, между тем как направление импульса электрона существенно меняется уже § 22 СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 123 в одном столкновении. Другими словами, время релаксации по энергиям электронов т? ~ трМ/т, где rp ~ l/v — время релакса- ции по направлениям импульса. Левую часть уравнения B2.1) тоже надо преобразовать к пе- ременным р и в: еЪд± = eEEL = ея[со80^ + *?^_Ё/_1 . B2.6) dp dpz L dp p dcos9l v J Решение составленного таким образом кинетического уравне- ния можно искать в виде разложения по полиномам Лежандра: cos9). B2.7) п=0 Мы увидим ниже, что последовательные члены этого разложе- ния быстро убывают по порядку величины. Поэтому фактически достаточно ограничиться двумя первыми членами разложения: Др, 0) = /o(p) + /i(p) cos 0. B2.8) Интеграл в B2.1) при подстановке B2.8) дает f[f (р, в') - f(p, в)] da = -frat cos в (ср. преобразование такого же интеграла в A1.1)), после чего кинетическое уравнение принимает вид -еЕ [/п cos в + /{ cos2 в + f— sin2 в] + — (s0p2)f + -/i cos в = О, L p \ p2 I где штрих означает дифференцирование по р; здесь опущен член p~2(sip2)' cosO, заведомо малый (в отношении ~ гп/М) по срав- нению с членом (vfi/l) cos в (sq и si — выражения B2.5) с /о или /i вместо /). Умножив это уравнение на Pq = 1 или на Р\ = cos в и проинтегрировав его по d cos б, получим два уравнения: ±(p2S)' = 0, S = -j^{p2h + mpTf'v) - ffi, B2.9) /i = —/о- B2.10) V Выражение S представляет собой плотность потока частиц в импульсном пространстве, измененного электрическим полем. Из B2.9) следует, что S = const/р2. Но поток S должен быть ко- нечен при всех значениях р] поэтому const = 0. Подставив теперь /i из B2.10) в уравнение S = 0, найдем уравнение, определяю- щее функцию fo(p): ^1 ? f ^ B2П) m 124 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II До сих пор мы не делали никаких предположений о виде функции /(р), а интеграл уравнения первого порядка B2.11) мо- жет быть написан с произвольной функцией 1(р). С целью по- лучения более конкретных результатов предположим / = const, что эквивалентно предположению о независимости сечения at от импульса1). Тогда интегрирование уравнения B2.11) дает / 2х72/6 /0(р) = const • (- + —) е~?/Т, B2.12) где 7 = f/f- B2ЛЗ) Для функции же fi(p) из B2.10) и B2.12) имеем Д = -foX - 1Ч± . B2.14) Величина 7 является тем параметром, который характеризу- ет степень воздействия поля на распределение электронов. Пре- дельный случай слабых полей отвечает неравенству 7 ^ 1- В первом приближении fo(p) сводится тогда к невозмущенному максвелловскому распределению (/осое~?/т, е = ЗТ/2), а f _emf <<L B215) Возникающий в газе электрический ток определяется подвижно- стью электронов 7 Vz 1 Г п с 74 1 Г с 74 (с\с\ л п\ - е?; - eENe J 3eENe J (Ne — плотность числа электронов) 2). Простое вычисление с Д из B2.15) дает для подвиж:ности в слабом поле B2.17) Как и следовало, это выражение удовлетворяет соотношению Эйнштейна D = 6Т, где D — коэффициент диффузии A1.10). Это во всяком случае выполняется при достаточно низких темпера- турах электронов, поскольку для медленных частиц сечение стремится к независящему от энергии пределу (см. III, § 132). ) Отметим, что, ввиду ортогональности различных полиномов Лежандра, из всех членов разложения B2.7) вклад в нормировочный интеграл дает только член /о, а вклад в vz — только член /i cos#. § 22 СЛАБО ИОНИЗОВАННЫЙ ГАЗ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ПОЛЕ 125 Смысл неравенства 7^1 как критерия слабости поля мож- но понять из следующих простых соображений. Очевидно, что влияние поля на распределение электронов будет слабым до тех пор, пока энергия, набираемая электроном за время его свобод- ного пробега, будет мала по сравнению с энергией, отдаваемой им атому при столкновении. Первая из них есть еЕ1, а вторая — 8е ~ V6P ~Vpr> (Р и V — импульс и скорость атома; изменение SP порядка вели- чины импульса электрона). Сравнение обоих выражений и при- водит к требуемому критерию. В обратном случае сильных полей G ^> 1) находим х) B2.18) B2.19) у ivi 1 7 Средняя энергия электронов: 9 /9 А/Т о / ^ \ А/Т ?=-*— 1 ( - 1 еЫ = 0,43eA/W—, B2.20) тг у Зш \4/ у m а их подвижность г)О/д 1 /о/ л /Г\ 1 /4/ 7—' \ 1 /9 * \ * / Остается выяснить критерий сходимости разложения B2.7). Для этого замечаем, что его последовательные члены связаны, по порядку величины, соотношением —/n-i ~ -Jn B2.22) mv I (после подстановки B2.7), умножения на Pn(cos6) и интегриро- вания по d cos в в левой части кинетического уравнения остается член с /n-i, а в интеграле столкновений — лишь с fn). При 7^1 средняя энергия электрона ~ё ~ Т, и из B2.22) имеем fn-i Т \М х) Формулу B2.18) проще получить, решая заново уравнение B2.11) (по- ложив в нем Т = 0), чем путем предельного перехода в B2.12). 126 ДИФФУЗИОННОЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ ГЛ. II В случае же больших полей, когда 7 ^ 1? средняя энергия е ~ еЕ1{М/тI/2, так что снова Таким образом, сходимость разложения обеспечивается мало- стью отношения т/М х).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Слабо ионизованный газ в электрическом поле» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Изложенная в этом параграфе теория принадлежит Б.И. Давыдову 