Флуктуации функции распределения в неравновесном газе
Пусть газ находится в стационарном, но неравновесном со- стоянии с некоторой функцией распределения /(г, Г), удовлетво- ряющей кинетическому уравнению vf = St/. B0.1) Функция / может сильно отличаться от равновесной функции распределения /о, так что интеграл столкновений St / не пред- полагается линеаризованным по разности / — /о- Стационарное неравновесное состояние должно поддерживаться в газе внешни- ми воздействиями: в газе может иметься поддерживаемый внеш- ними источниками градиент температуры, газ может совершать стационарное движение (не сводящееся к движению как целого) и т. п. Поставим задачу о вычислении флуктуации функции распре- деления /(?, г, Г) относительно /(г, Г). Эти флуктуации будут снова характеризоваться коррелятором A9.1), в котором усред- нение производится обычным образом по времени при заданной разности t = t\ — ?2, и коррелятор зависит только от t. Ввиду неоднородности распределения /(г, Г), однако, коррелятор бу- дет зависеть теперь от координат ri и Г2 по отдельности, а не только от их разности. Свойство A9.4) запишется теперь в виде №(tMh@)) = №(-tMh@)), B0.2) где /i(<) = /(*,n,ri), /2@) = /@,г2,Г2). § 20 ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 111 Соотношение же A9.5), связанное с обращением времени, в неравновесном случае, вообще говоря, отсутствует. Коррелятор функции распределения по-прежнему удовле- творяет тому же уравнению A9.10): | + vi А - h) №(t)8h@)) = 0, B0.3) где 1\ — линейный интегральный оператор A9.11), действующий на переменные Гх 1). Вопрос же о начальном условии к этому уравнению, т. е. о виде одновременного коррелятора, значитель- но более сложен, чем в равновесном случае, где он давался просто выражением A9.6). В неравновесном газе одновременный корре- лятор сам определяется из некоторого кинетического уравнения, вид которого можно установить, воспользовавшись связью кор- реляционной функции с двухчастичной функцией распределе- ния / , введенной в § 16. В стационарном состоянии функция / (гх,Гх; Г2,Г2), как и /(г, Г), не зависит явно от времени. Для вывода этой связи замечаем, что ввиду бесконечной ма- лости фазового объема dr = d?x dT в нем может находиться од- новременно не более одной частицы2). Поэтому среднее число / dr есть в то же время вероятность частице находиться в эле- менте dr (вероятность же нахождения в нем сразу двух частиц есть величина более высокого порядка малости). Отсюда же сле- дует, что среднее значение произведения чисел частиц в двух элементах dr\ и dr% совпадает с вероятностью одновременного нахождения в каждом из них по одной частице. Для заданной пары частиц это есть, по определению двухчастичной функции ^2) распределения, произведение /12 dr\ dr2- Но поскольку пара ча- стиц может быть выбрана из (очень большого) полного числа частиц N(N — 1) ~ Л/ способами, то (Л dn • h dr2) = ЛГ27п dn dr2. Получающееся таким образом равенство (/х/2) = А//12 отно- сится, однако, лишь к различным точкам фазового простран- ства. Переход же к пределу гх, Гх —>• Г2, Г2 требует учета того, что если dr\ и dr2 совпадают, то атом, находящийся в drx, тем самым находится и в dr2- Соотношение, учитывающее это обсто- ятельство, имеет вид </i/2) = .Л//!? + 7i*(n - Г2ЖГ1 - Г2). B0.4) 1) Использование этого уравнения в неравновесном случае введено Лаксом (М. Lax, 1966). 2) Следующий ниже вывод — перефразировка рассуждений из V, § 116. 112 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ.1 Действительно, умножим это равенство на dr\ dr2 и проинтегри- руем по некоторому малому объему Ат. Первый член справа дает при этом малую величину второго порядка (~ (АтJ); член же с ^-функциями дает /Ат, т. е. величину первого порядка. Мы получим, следовательно, ((f как и должно быть, принимая во внимание, что с точностью до величин первого порядка в малом объеме Ат может находиться лишь 0 или 1 частица. Подставив B0.4) в определение одновременного коррелятора {6h@Nf2@)) = (/i@)/2@)) -JJ2, получим искомую связь между ним и двухчастичной функцией распределения: №(о)л/2(о)> =J^tS -7i/2 +7i<*(n -Г2ЖГ1 -г2). B0.5) В равновесном идеальном газе двухчастичная функция распре- деления сводится к произведению /12 — f \$21^^ -> и тогДа B0.5) сводится к A9.6). В любом случае /12 стремится к указанному произведению при увеличении расстояния между точками 1 и 2, так что (Sfi@)Sf2@)) -> 0 при |п - г2| -> ос. B0.6) Двухчастичная функция распределения удовлетворяет кине- тическому уравнению, аналогичному уравнению Больцмана. Это уравнение можно было бы вывести из уравнения A6.9) для / , подобно тому, как уравнение для одночастичной функции было выведено из A6.7I). Мы, однако, дадим здесь вывод уравнения для / , аналогичный основанному на наглядных физических соображениях выводу уравнения Больцмана в § 3. Будем рассматривать в качестве неизвестной не самую функ- ТB) цию / , а разность ?>(ri,ri;r2,r2) =AT2/g) -7i72, B0-7) обращающуюся в нуль при |п — Г21 —> ос (коррелятор B0.5) без последнего члена). Эта величина является малой в обычном 1) В § 17 уравнение A6.9) использовалось лишь для специфической цели — тB) I для исключения / из уравнения для /. § 20 ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 113 в теории флуктуации смысле — порядка 1/М по сравнению c/l/2- В отсутствие столкновений функция ср удовлетворяет урав- нению, выражающему собой просто теорему Л иу вил ля — посто- янство / вдоль фазовой траектории пары частиц: Изменение же <р за счет столкновений связано с процессами дво- якого рода. Столкновения частиц 1 и 2 со всеми остальными частица- ми, но не друг с другом, приводят к появлению в правой части уравнения B0.8) членов 1цр + 1ъЧ>, где 1\ и /2 — линейные ин- тегральные операторы A9.11), действующие соответственно на переменные 1\ и Г2. Столкновения же частиц 1 и 2 друг с другом играют особую роль; они приводят к одновременному «перескоку» обеих частиц 1 и 2 из одной пары точек фазового пространства в другую. В точности те же соображения, что и при выводе C.7), дают в правой части B0.8) член вида <$(ri — Г2) Sti2 /, где stia 7 = 1 w (гь г2; г'1г'2)(/17'2 - /i72) <*ri ^2 B0.9) (в этом интеграле флуктуациями можно пренебречь); множи- тель <$(ri — Г2) выражает тот факт, что столкновения испытыва- ют частицы, находящиеся в одной точке пространства1). Окончательно приходим к следующему уравнению: vi|^ + v2|^ - hip - Т2<р = 6(Г1 - r2) Sti2 /. B0.10) Регпив это уравнение, мы получим согласно B0.5) функцию, иг- рающую роль начального условия к уравнению B0.3) при t = 0 2). Без правой части однородное уравнение B0.10) имеет решение V B0.11) отвечающее произвольным малым изменениям числа частиц, температуры и макроскопической скорости в равновесном рас- пределении /о. ) Если проинтегрировать интеграл B0.9) еще и по с?Г2, то получится обычный интеграл столкновений Больцмана. 2) Этот результат принадлежит СВ. Ганцевичу, В. Л. Гуревичу и Р. Ка- тпилюсу A969) и Ш.М. Когану и А.Я. Шульману A969). 114 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Это «паразитное» решение, однако, исключается условием ^ —)> О при |ri — Г21 —>• оо. Поэтому в равновесном случае, ког- да интеграл Sti2 тождественно обращается в нуль, из уравнения B0.10) следует ср = 0 и мы возвращаемся к начальному условию A9.6). Правая часть уравнения B0.10), т. е. парные столкновения между частицами в заданных состояниях Гх и Г2, является, та- ким образом, источником одновременной корреляции флукту- ации в неравновесном газе. Приводя к одновременному изме- нению чисел заполнения двух состояний, парные столкновения порождают корреляцию между этими числами. В равновесном состоянии, ввиду точной компенсации прямых и обратных пар- ных столкновений, этот механизм неэффективен и одновремен- ные корреляции отсутствуют. Если распределение / не зависит от координат г (как это мо- жет быть при поддержании неравновесности внешним полем), то можно поставить вопрос о флуктуациях функции распреде- ления, усредненной по всему объему газа, т. е. о флуктуациях функции /(t,r) = i//(t,r,r)d3a; B0.12) (которую мы обозначим той же буквой /, но без аргумента г). Со- ответствующая корреляционная функция удовлетворяет уравне- нию, отличающемуся от B0.3) отсутствием члена с производной по координатам: ? + Fi-A- - h) (8f(t, Г!)<5/@, Г2)} = 0 при t > 0; B0.13) dt dpi J в левой части добавлен член, связанный с силой F, действующей на частицы во внешнем поле. Одновременный же коррелятор (Sf@,r1Mf@,T2)) = 27{2O7 ZEi) -г2) = + ) + Ц^8(Г1-Т2) B0.14) удовлетворяет уравнению [fi-?- + F2-2- - (h + /2I ?>(ГЬ Г2) = Sti2 ?>(ГЬ Г2). B0.15) [ dpi dp2 J Если газ находится в замкнутом сосуде, то это уравнение долж- но решаться при дополнительном условии, выражающем собой § 20 ФЛУКТУАЦИИ В НЕРАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 115 заданность (т. е. отсутствие флуктуации) полного числа частиц в газе: f{8f@, 1^/@, Г2)> dT1 = JEf@, Г1)<У/@, Г2)> dY2 = 0. B0.16) Это условие должно выполняться и в равновесном случае. Между тем выражение f(Ti)S(Ti — F2)/V, соответствующее кор- релятору A9.6), ему не удовлетворяет. Правильное выражение можно получить за счет произвола B0.11); подобрав должным образом параметр АЛ/", получим <$/(о, 14M/@, г2)) = ?7(Г1ЖГ1 -г2) - l7(riO(r2). B0.17) Отметим, что этот коррелятор содержит также и не 8-фуик- ционный член.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Флуктуации функции распределения в неравновесном газе» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
