В § 7, 8 было уже указано, что независимость коэффициентов теплопроводности и вязкости от плотности (или давления) газа является следствием учета одних только парных столкновений молекул. Именно для таких столкновений их частота (т. е. число столкновений, испытываемых в 1 с заданной молекулой) пропор- циональна плотности 7V, длина пробега lool/N, а поскольку т\ и ус пропорциональны 7V7, они оказываются независящими от N. Получающиеся таким образом значения (обозначим их через щ и щ) являются, конечно, лишь первыми членами разложения этих величин по степеням плотности (эти разложения называ- ют вириальными). Уже в следующем приближении появляется зависимость от плотности вида ус = щA + aNd3), г/ = т/оA + f3Nd3), A8.1) где d — параметр порядка величины молекулярных размеров, а а, /3 — безразмерные постоянные. Эти первые поправки имеют двоякое происхождение, отраженное в поправочных членах и St^ в кинетическом уравнении. Тройные столкновения (часто- та которых пропорциональна N ) приводят к уменьшению дли- ны пробега. Нелокальность же парных столкновений приводит к возможности передачи импульса и энергии через некоторую поверхность без ее фактического пересечения сталкивающими- ся частицами: частицы сближаются на расстояние ~ d и затем расходятся, оставаясь по разные стороны от поверхности; этот эффект приводит к увеличению потоков импульса и энергии. Решение задачи о теплопроводности или вязкости с уточнен- ным кинетическим уравнением A7.12) должно строиться по той же схеме, которая была описана в § 6-8. Ищем функцию распре- деления в виде / = /оA + х/Т), где /о — локально-равновесная функция, а х/Т ~ 1/L — малая добавка. Интеграл тройных столкновений St^3\ как и Stg , обращается в нуль функцией /q. Поэтому в нем надо удержать член с х, в результате чего инте- грал Sv ' оказывается по отношению к больцмановскому инте- гралу St^2) поправкой относительного порядка ~ (d/rK. В ин- теграле же St^ , содержащем пространственные производные функции распределения, достаточно положить / = /о; в этом смысле член St^ должен быть отнесен к левой части уравне- ния, в которой он дает поправку того же относительного поряд- ка ~ (d/rK. Таким образом, оба дополнительных члена в ки- § 18 ВИРИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ 103 нетическом уравнении, St' ' и St-j_ , дают вклады одинакового порядка 1). Приведем здесь, для справок, результаты решения уточнен- ного кинетического уравнения для теплопроводности и вязкости газа в модели твердых шаров (диаметра d): к = щA + 1, 2Nd3), 77 = 770A + 0, 35Nd3), A8.2) где щ и г/о — значения, полученные в задаче 3 § 10 (</. V. Sengers, 1966) 2). Вводя дальнейшие поправки в кинетическое уравнение (свя- занное с четверными и т. д. столкновениями), можно было бы в принципе определить и следующие члены вириального разложе- ния кинетических коэффициентов. Существенно, однако, что эти члены уже не будут просто целыми степенями N] функции x(N) и Tj(N) оказываются неаналитическими в точке N = 0. Для вы- яснения происхождения этой неаналитичности проанализируем вопрос о сходимости интегралов, фигурирующих в излагаемой теории (Е.С. Cohen, J.R. Dorfman, J. Weinstock, 1963). Рассмотрим интеграл в A7.10), определяющий вклад трой- ных столкновений в двухчастичную функцию распределения. Характер сходимости интеграла оказывается различным для различных типов процессов столкновений, учитываемых опера- тором i?i23- Рассмотрим для примера процесс типа рис. 5 б. Интегрирование производится по фазовому объему drs при заданных фазовых точках т\ и т^- В качестве переменной, по которой интегрирование производится последним, оставим рас- стояние гз частицы 3 (в момент времени t) от точки, где про- изошло столкновение 2-3. Перед этим последним интегрирова- нием подынтегральное выражение будет содержать следующие множители: 1) элемент объема по переменной г%\ г|с?гз; 2) ес- ли следить за движением частицы 3 назад по времени, то будет ясно, что направление ее импульса рз должно лежать в опре- деленном элементе телесных углов для того, чтобы могло про- изойти столкновение 3-2 — угол, под которым область соударе- ния видна с расстояния гз; отсюда возникает множитель d2/r|; 3) еще один такой множитель возникает в результате дальней- ) Эти соображения разъясняют недоумение, которое могло бы возник- нуть в связи с тем, что интеграл StJ содержит производные df/dr ~ f/L, которых нет в интеграле St^, и потому, казалось бы, эти два члена пред- ставляют собой поправки различного порядка величины. ) Изложение хода соответствующих, весьма трудоемких вычислений можно найти в статье Зенгерса в книге: Lectures in theoretical physics, V. IX С, Kinetic Theory (edited by W. Brittin) — N.Y.: Gordon a. Breech, 1967. 104 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. шего ограничения возможных направлений импульса рз, требу- емого условием, что «отскочившая» частица 2 должна попасть в сферу соударения с частицей 1. Таким образом, получается ин- теграл вида /б?гз/гз, который должен быть взят от расстояния гз ~ d до ос; мы видим, что этот интеграл сходится. Анало- гичным образом можно показать, что для процессов столкнове- ния других типов сходимость интеграла оказывается даже более быстрой. Вклад четверных столкновений выразился бы в A7.10) ин- тегралом аналогичного вида, взятым по фазовому пространству частиц 3 и 4 (снова при заданных т\ и тг). Рассмотрим четверное соударение изображенного на рис. 6 типа. Мы снова оставим расстояние гз в качестве переменной по- следнего интегрирования. Отличие от предыдущей оценки свя- зано с наличием интегрирования по dr^ в подынтегральном выражении. Очевидно, что это ин- тегрирование дает вклад, пропорцио- нальный сечению рассеяния 1~4, т.е. ~d2. (Второе столкновение 1-2, как и прежде, может быть обеспечено огра- ничением области интегрирования по направлениям рз.) Из соображений размерности очевидно тогда, что инте- грирование по б?Т4 вносит дополнитель- ный вклад порядка р3гз d2. Интеграл по 3 drs оказывается вида f drs/rs, т.е. ло- гарифмически расходится на верхнем пределе. Обрезая интеграл на некото- ром расстоянии Л, получим вклад в функцию fB\ содержащий большой логарифм 1п(Л/сГ). Этот ло- гарифм войдет соответственно и в поправку к кинетическим ко- эффициентам, которая окажется пропорциональной не 32 Рис. 6 Появление расходящихся членов означает, что четверные столкновения нельзя рассматривать отдельно от столкновений всех более высоких порядков (пятерных и т. д.). Действитель- но, расходимость показывает, что существенны большие г±. Но уже при Г4 ~ / частица 4 может столкнуться с какой-либо ча- стицей 5, и т. д. Отсюда становится ясным путь устранения рас- ходимости: в выражении для функции /B)(?,ti, t*i) надо учесть члены со столкновениями всех порядков, оставив в каждом по- рядке наиболее быстро расходящиеся интегралы. Такое сумми- рование может быть произведено и приводит к результату, кото- рый можно было ожидать: произвольный большой параметр Л § 19 ФЛУКТУАЦИИ В РАВНОВЕСНОМ ГАЗЕ 105 под знаком логарифма заменяется на величину порядка длины пробега / - l/(Nd2) х). Таким образом, разложение кинетических коэффициентов имеет вид к = Хо h + aiNd3 + a2(Nd3J In -Ц + .. .1 A8.3) (и аналогично для 77).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Вириальное разложение кинетических коэффициентов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
