Хотя изложенный в § 3 вывод кинетического уравнения удов- летворителен с физической точки зрения, представляет значи- тельный интерес проследить за тем, каким образом это уравне- ние можно аналитически получить из математического аппарата теории, т. е. из уравнений движения частиц газа; такой вывод дан Н.Н. Боголюбовым A946). Значение этого метода состоит § 16 ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД 89 также и в том, что он дает регулярную процедуру, позволяю- щую в принципе получить не только уравнение Больцмана, но и поправки к нему, т. е. члены следующих порядков по мало- му «параметру газовости» — отношению (rf/rK, где d — моле- кулярные размеры (радиус действия молекулярных сил), а г — среднее расстояние между молекулами. Излагаемый ниже вывод относится к одноатомному газу в чисто классических рамках, т. е. в предположении, что не только свободное движение, но и процессы столкновения частиц газа описываются классической механикой. Исходным пунктом метода является теорема Лиувилля для функции распределения газа в целом как системы Л/" частиц. Обозначим такую функцию (в 6Л/"-мерном фазовом простран- стве) через /( ' (^5/ti,T2,... , тдг), где символы та обозначают совокупности координат и компонент импульса а-й частицы: та = (га,Ра)] эта функция будет предполагаться нормированной на единицу: / ?, Ti,... , гдг) dri ... drM = 1, dra = d3xa d3pa. Фигурирующая в уравнении Больцмана «одночастичная» функ- ция распределения получается интегрированием функции /^ по всем drai кроме одного: A6.1) функция /^ тоже нормирована на 1; обозначение же / (без ин- декса) сохраним для функции распределения, нормированной на полное число частиц: / = Л/"/'1- Напомним (см. V, § 3), что теорема Лиувилля возникает как следствие уравнения непрерывности в фазовом пространстве, ко- торому должна удовлетворять функция распределения замкну- той системы: = 0. A6.2) dt С помощью уравнений Гамильтона Га = |^, Р« = ~ A6.3) ОРа ОГа отсюда получается равенство 1 а ~т~ ]?а г — — 1 \ / а=1 ^ а ) 90 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I причем ra = va и ра предполагаются выраженными через ti,T2,... согласно уравнениям A6.3); равенство A6.4) и состав- ляет содержание теоремы Лиувилля. Функцию Гамильтона одноатомного газа представим в виде ?+ Е U(K-rb\). A6.5) Здесь предполагается, что внешнее поле отсутствует, а взаимо- действие частиц газа друг с другом сводится к сумме их попар- ных взаимодействий г). С такой функцией Гамильтона уравнение A6.4) принимает вид + V(^Va - ^ у ^4 = о, A6.6) dt ?-А дта дРа ?" дта а=1 Ь<а где иаь (а ф Ь) обозначает U(\ra — Проинтегрируем теперь это уравнение по d,T2 ... с?тд/\ В ре- зультате такого интегрирования из всех членов под знаком суммы в A6.6) останутся лишь те, которые содержат дифферен- цирования по pi или Г]_; интегралы от остальных членов преоб- разуются в интегралы по бесконечно удаленным поверхностям в импульсном или координатном пространстве и обращаются в нуль. Таким образом, получим '—^-dT2i A6.7) dt дп J дп др где /B) — нормированная на 1 двухчастичная функция распре- деления, т. е. интеграл ,тьт2)= [ fw d-m... dw A6.8) (множитель М в A6.7) учитывает члены, отличающиеся лишь обозначением переменных интегрирования; строго говоря, число таких членов есть М — 1, но, ввиду очень большой величины Л/", Я1Я) х) Последнее предположение имеет модельный характер. Подчеркнем, однако, что на результате первого приближения (отвечающего уравнению Больцмана) оно вообще не сказывается: в этом приближении фигурируют только двойные столкновения частиц, в которых другие (не парные) взаи- модействия не участвуют. § 16 ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД 91 Аналогичным образом, проинтегрировав A6.6) по dr% ... с?тд/", получим уравнение dt dri dr2 dri dpi dr2 где fC\t, /Г1,Т2,тз) — трехчастичная функция распределения. Продолжая таким образом, мы получили бы практически неограниченную (Л/" очень велико!) цепочку последовательных уравнений, каждое из которых выражает /(п) через j(n+1). Все эти уравнения — точные в том смысле, что никаких предположе- ний, связанных с разреженностью газа, в них еще не делалось. Но для получения замкнутой системы уравнений эту цепочку надо где-то оборвать, воспользовавшись условием разреженности га- за. В частности, первому приближению метода отвечает обрыв цепочки уже на первом уравнении (уравнение A6.7)), в котором двухчастичная функция f^ будет приближенно выражена че- рез /^. Последнее осуществляется с учетом разреженности газа с помощью уравнения A6.9). Обращаясь к этому уравнению, покажем прежде всего, что интеграл в его правой части мал. Действительно, функция U® заметно отлична от нуля лишь в радиусе действия сил, т. е. при г < d. Поэтому и в обеих частях интеграла в A6.9) интегрирова- ния по координатам происходят фактически лишь по областям |гз~ri| i$ с/или |гз — Г21 < d, т. е. по объему ~ d3. Заметив также, что при интегрировании по всему объему газа V ~ Mr3 было бы / /C) dr% = /B\ находим следующую оценку: яттил я-fC2) л3 drz dpi dri дг dpi r3 Отсюда видно, что правая часть уравнения A6.9) мала в отноше- нии (d/rK по сравнению с содержащими dU/дг членами в левой части уравнения и поэтому ею можно пренебречь. Совокупность же членов в левой части уравнения представляет собой полную производную d/B)/ей, в которой ri, Г2, pi, P2 рассматриваются как функции времени, удовлетворяющие уравнениям движения A6.3) с функцией Гамильтона задачи двух тел: 92 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Таким образом, имеем -?/B)(*,тьт2) = 0. A6.10) at До сих пор все преобразования уравнений носили чисто меха- нический характер. Разумеется, для вывода кинетического урав- нения необходимо сделать также и некоторое предположение ста- тистического характера. Оно может быть сформулировано как утверждение о статистической независимости каждой пары ча- стиц, вступающих в столкновение (по существу именно это пред- положение подразумевалось при выводе кинетического уравне- ния в § 3, когда вероятность столкновения записывалась в виде B.1), пропорциональном произведению //i). В излагаемом ме- тоде это утверждение играет роль начального условия к диффе- ренциальному уравнению A6.10). Именно оно вносит асиммет- рию по отношению к обоим направлениям времени, в результате чего из инвариантных к обращению времени уравнений меха- ники получается необратимое кинетическое уравнение. Корре- ляция между положениями и импульсами частиц газа возникает лишь в течение времени их столкновения (~ d/v) и простирается на расстояния ~ d. Таким образом, предположение о статисти- ческой независимости сталкивающихся частиц является также и источником принципиальных ограничений в допускаемых ки- нетическим уравнением расстояниях и промежутках времени, о которых говорилось уже в § 3. Пусть to — некоторый момент времени, предшествующий столкновению, когда две частицы находятся еще далеко друг от друга (|гю — Г2о| ^> ^, где индекс нуль отличает значения величин в этот момент). Статистическая независимость сталки- вающихся частиц означает, что в такой момент to двухчастичная функция распределения распадается на произведение двух од- ночастичных функций f^\ Поэтому интегрирование уравнения A6.10) от to до t дает 20). A6.11) Здесь тю = (гю,рю) и Т2о = (г2(ьР2о) надо понимать как те зна- чения координат и импульсов, которые должны иметь частицы в момент to для того, чтобы к моменту t приобрести требуемые Значения Т\ = (Г]_, Pi) И Т2 = (Г2, Р2); В ЭТОМ СМЫСЛе Тю, Т20 ЯВЛЯ- ЮТСЯ функциями от т\, Т2 и t — to (причем от t — to зависят лишь гю и Г2о; значения же рю и Р20, относясь к свободно движущим- ся перед столкновением частицам, от выбора t — to не зависят). Возвратимся к уравнению A6.7) — будущему кинетическому уравнению. Его левая часть уже имеет требуемый вид; нас бу- дет интересовать теперь интеграл в его правой части, который должен превратиться в конце концов в интеграл столкновений 16 ДИНАМИЧЕСКИЙ ВЫВОД 93 уравнения Больцмана. Подставив в этот интеграл /^ > из A6.11) и перейдя в обеих частях уравнения от функции /^ к функции / = Nf^l\ пишем df(t,n) + vi df(t,n) = gt ^ dt дг\ где St/= / -^-^-—{/(^O5^io)/(^o5^2o)}^2- A6.12) i В интеграле A6.12) существенна только область |г2 — i*i| ~ d — область, в которой происходит столкновение. Но в этой области можно пренебречь (в рассматриваемом первом приближении!) координатной зависимостью функции /; эта функция заметно меняется лишь на расстояниях L (характерные размеры зада- чи), во всяком случае больших по сравнению с d. Мы не изме- ним поэтому окончательного вида интеграла столкновений, если будем рассматривать (с целью некоторого упрощения рассужде- ний и записи формул) пространственно-однородный случай, т. е. предположив, что функция / вообще не зависит от координат. Сразу же отметим, что в функциях /(^(ьРю)? /(^(ьР2о) пропа- дает тогда и явная (через посредство гю(?) и Г2о(?)) зависимость от времени. Преобразуем подынтегральное выражение в A6.12), восполь- зовавшись тем, что выражение в фигурных скобках является ин- тегралом движения (именно как таковое оно появилось в A6.11); независимо от этого очевидно, что рю и Р20 — значения импуль- сов в фиксированный момент времени to — уже по определению являются интегралами движения). Учтя также и отмеченное вы- ше отсутствие в них явной зависимости от времени ?, имеем 4/(*0,Р10)/(*ЬР20)= U±+V2±- df V u'riU" v "'""' ^ ^n *dr2 dn dpi dr2 d x/(to,Pio)/(to,P2o)=O. A6.13) Выразим отсюда производную по pi через производные по ri, Г2 и р2 и подставим в A6.12). Член с производной <9/<9р2 исчезает после преобразования в интеграл по поверхности в импульсном пространстве. После этого получим St/(t,pi) = J vOTH|-{/(to,Pio)/(to,P2o)}^tfV2, A6.14) где введена относительная скорость частиц v0TH = vi — V2 и учтено, что рю и Р20 (а с ними и все выражение в фигурных скобках) зависят от ri и Г2 лишь через разность г = ri— Г2. Введя 94 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I вместо г = (x,y,z) цилиндрические координаты z, р, (р с осью z вдоль v0TH, заметив, что vOTH<9/<9r = v0TUd/dz, и проинтегрировав по dz, перепишем A6.14) в виде1) /z=oo {/(*о,Рю)/(*о,Р2о)} vOTUpdpd(p-d6p2. z=-oo A6.15) Вспомним теперь, что рю и Р20 — начальные (в момент to) импульсы частиц, которые в конечный момент t имеют импульсы Pi и р2. Если в конечный момент z = z\ — z2 = —оо, то ясно, что в начальный момент частицы находились «еще дальше» друг от друга, т. е. столкновения вообще не было; другими словами, в этом случае начальные и конечные импульсы совпадают: Рю = Рь Р20 = Р2 при г = -оо. Если же z = +оо, то рю и Р20 играют роль начальных импульсов для столкновения, в результате которого частицы приобретают импульсы pi и р2; в этом случае введем обозначения Рю = PiG°)> Р20 = Р2(р) ПРИ z = +оо. Эти значения являются функциями координаты /э, играющей роль прицельного параметра столкновения. Произведение же р dp dip = da есть классическое сечение столкновений. Наконец, остается заметить, что явную зависимость функ- ций /(?o,pio) и /(^(ЬР2о) от ^о можно заменить в рассматривае- мом приближении такой же зависимостью от t. Действительно, справедливость утверждения A6.11) требует соблюдения лишь неравенства t — to ^> d/v: в момент to расстояние между части- цами должно быть велико по сравнению с радиусом действия сил d. Но разность t — to может быть выбрана так, чтобы удо- влетворять также и условию t — to <С l/v, где / — длина пробега; отношение же l/v — время свободного пробега — есть как раз та характерная величина, которая определяет периоды возмож- ного изменения функции распределения со временем. Изменение функции распределения за время t — to будет тогда относительно малым, так что им можно пренебречь. Пределы z = ±oo надо понимать как расстояния, большие по сравнению с с/, но малые по сравнению с длиной пробега / (при буквально бесконечных пределах все выражение обратилось бы в нуль, поскольку / = 0 вне объема, занимаемого газом). Такая ситуация возникла вследствие того, что при пере- ходе от A6.12) к A6.14) было использовано уравнение A6.13), справедливое лишь до тех пор, пока рассматриваемые частицы не испытывают следующих столкновений. § 17 УРАВНЕНИЕ С УЧЕТОМ ТРОЙНЫХ СТОЛКНОВЕНИЙ 95 После всего сказанного получаем окончательное выражение для интеграла A6.15): St /(*, Р1) = /{/(t, p[)f(t, р'2) - /(t, pi)/(t, P2)Kth da d3p2, A6.16) совпадающее с больцмановским интегралом столкновений C.9).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Динамический вывод кинетического уравнения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Пределы z = ±oo надо понимать как расстояния, большие по сравнению 