Коэффициенты теплопроводности и вязкости относятся к категории величин, определяющих процессы релаксации сла- бо неравновесных систем. Эти величины — кинетические ко- эффициенты — удовлетворяют принципу симметрии (принцип Онсагера), который может быть установлен в общем виде, без рассмотрения конкретных релаксационных механизмов. Но при конкретном вычислении кинетических коэффициентов с по- мощью кинетических уравнений принцип симметрии не дает каких-либо условий, которые должны были бы дополнительно налагаться на решение уравнений. При таком вычислении тре- бования этого принципа удовлетворяются, разумеется, автома- тически. Полезно проследить за тем, каким образом это проис- ходит. Напомним, что в общей формулировке принципа Онсагера (см. V, § 120) фигурирует набор величин хп1 характеризующих неравновесность системы, и набор «термодинамически сопря- женных» с ними величин Ха = —dS/dxa (S — энтропия систе- мы) . Процесс релаксации слабо неравновесной системы описыва- ется уравнениями, определяющими скорости изменения величин ха в виде линейных функций величин Ха: 2_^JabXb, (9.1) -г- b где jab — кинетические коэффициенты. Согласно принципу Он- сагера, если ха и хь одинаково ведут себя при обращении време- ни, то lab = Iba- (9.2) При этом скорость изменения энтропии дается квадратичной формой Jab^a^b' \^'°) a,b 44 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I Первым из этих выражений часто бывает удобным пользоваться для установления соответствия между величинами ха и Ха. В случае теплопроводности в качестве «скоростей» ха рас- сматриваем компоненты q'a вектора диссипативного теплового потока (в каждой заданной точке среды); индекс а совпадает при этом с векторным индексом а. Соответствующими величи- нами Ха будут тогда производные Т~2дТ/дха (ср. IX, § 88). Роль уравнений (9.1) играют равенства q'a = —кардТ/дхр, так что кинетическими коэффициентами 7аб являются величины Т2кар. Согласно принципу Онсагера должно быть кар = кра. Аналогичным образом, в случае вязкости в качестве величин ха рассматриваем компоненты тензора вязкого потока импульса аав1 а соответствУюЩими Ха являются —Vafi/T (индексу а от- вечает при этом пара тензорных индексов аC). Роль уравнения (9.1) играют соотношения а'ао = r/a/37jV^, а кинетическими ко- эффициентами являются величины Tr]a^s- Согласно принципу Онсагера должно быть r]aC<yS — V-r6aC • В рассмотренных в предыдущих параграфах задачах о теп- лопроводности и вязкости газов указанная симметрия тензоров ^а/з и r]af3j$ возникала автоматически уже как следствие изотро- пии среды, безотносительно к решению кинетического уравне- ния. Покажем, однако, что эта симметрия возникла бы и в ре- зультате решения кинетического уравнения, безотносительно к изотропии газа. Схема решения задач о теплопроводности и вязкости в слабо неоднородном газе состояла в том, что поправка к равновесной функции распределения ищется в виде a®Xa (9.4) и для функций ga получаются уравнения вида . (9.5) Величинами La являются компоненты вектора Т[е(Г) - cpT]va в случае теплопроводности, или тензора -Т \mvavp - —^/з] L cv J в случае вязкости (ср. F.19)). Решения уравнений (9.5) должны удовлетворять дополнительным условиям § 9 СИММЕТРИЯ КИНЕТИЧЕСКИХ КОЭФФИЦИЕНТОВ 45 С учетом этих условий кинетические коэффициенты 7^/3 могут быть записаны в виде интегралов T2lab = -Jf0LagbdT. (9.6) Доказательство симметрии 7аб — 1Ьа сводится, таким образом, к доказательству равенства интегралов Jf0Lagbdr = ff0Lbgadr. (9.7) Оно основано на свойстве «самосопряженности» линеаризо- ванного оператора /, к которому можно прийти следующим об- разом. Рассмотрим интеграл где VK-Г), vK-T) — любые две функции переменных Г. Поскольку интегрирование производится по всем переменным Г, Гх, Г7, Г^, можно, не меняя интеграла, произвести любое их переобозначе- ние (как это делалось уже в § 4). Произведем переобозначение Г, Г" «->> Fi, Г'1? а затем в каждом из двух получающихся таким образом форм интеграла — еще переобозначение Г, Гх <н> Г7, Г^. Взяв сумму всех четырех выражений, имеем (9.8) (обозначения w и wf из C.5)). Рассмотрим теперь такой же инте- грал, в котором функции ф(Т) и (р(Т) заменены соответственно на (р(Тт) и ф(Тт) (не меняя при этом переменных в w nwf\). Про- изведя в этом интеграле переобозначение Гт, Г^, ... —>> Г, Гх, ... и воспользовавшись принципом детального равновесия B.3), получим (9.9) (учтено также, что /о(Гт) = /о(Г)). Раскрыв в (9.8) и (9.9) ква- дратные скобки и сравнив их почленно, убедимся, что оба инте- грала равны друг другу. При сравнении надо учесть соотношение унитарности B.9), в силу которого имеем, например, 46 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I (соотношение B.9) применено здесь к интегрированию по пере- менным Г7, Г'1? от которых в подынтегральном выражении зави- сят только w и wf) Таким образом, приходим к равенству ) dT. (9.10) Отметим, что если принцип детального равновесия справедлив в своей простейшей форме B.8), w = u/, то соотношение (9.10) сводится к буквальной самосопряженности оператора /: dT = J MI{<p) dT, (9.11) где в обоих интегралах фигурируют функции (риф одних и тех же переменных Г (это сразу очевидно при w = wf из выражения (9-8)). Возвращаясь к кинетическим коэффициентам, произведем в первом интеграле (9.7) переобозначение Г —>• Тт и учтем, что La(TT) = ±La(T) (9.12) (верхний знак относится к случаю вязкости, нижний — теплопро- водности). Воспользуемся теперь соотношениями (9.5) и (9.10). При этом в (9.10) можно производить интегрирование по Тт вместо Г, значение интеграла от этого, очевидно, не изменится. Имеем / fogbLa dT = ±J fogjl(ga) dTT = = ±J fogZHgb) dTT = ±JhgTaLb(Y) dTT. Теперь достаточно переобозначить в правой части равенства Гт—)>Г, и с учетом (9.12) мы получим требуемый результат (9.7). Кинетические коэффициенты должны удовлетворять также и условиям, следующим из закона возрастания энтропии; в част- ности, должны быть положительны «диагональные» коэффици- енты 7аа- Поскольку кинетическое уравнение обеспечивает воз- растание энтропии, то естественно, что при вычислении с его помощью кинетических коэффициентов эти условия удовлетво- ряются автоматически. Возрастание энтропии выражается неравенством -/ln/-St/dT>0 (см. § 4). Подставив сюда имеем - I'ln/oSt/ dT - 11 /oln(l + 2l) I(X)dT > 0 § 10 ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ 47 Первый интеграл обращается в нуль тождественно, а во втором пишем, ввиду малости %, In A + х/Т) ~ х/Т и находим Г>О. (9.13) Этим неравенством и обеспечиваются необходимые свойства ки- нетических коэффициентов. В частности, при х — ёа оно ВЬ1Ра" жает собой положительность 7аа-
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Симметрия кинетических коэффициентов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
