Кинетическое уравнение Больцмана дает микроскопическое описание эволюции состояния газа. Покажем, каким образом производится переход от кинетического уравнения к обычным уравнениям гидродинамики, осуществляющим менее детальное, макроскопическое описание этой эволюции. Такое описание при- менимо в условиях, когда макроскопические свойства газа (его температура, плотность, скорость и т. п.) достаточно медленно меняются вдоль его объема: расстояния L, на которых происхо- дит существенное изменение этих свойств, должны быть велики по сравнению с длиной свободного пробега молекул /. Мы уже упоминали, что интеграл N(t,r) = Jf(t,r,r)dT E.1) есть плотность распределения молекул газа в пространстве; про- изведение р = mN есть соответственно массовая плотность газа. Скорость макроскопического движения газа обозначим через V (в отличие от микроскопических скоростей молекул v); она опре- деляется как среднее значение V = v = l/v/dr. E.2) г) Доказательство закона возрастания энтропии с помощью кинетическо- го уравнения было дано Больцманом и явилось первым микроскопическим обоснованием этого закона. В применении к газам этот закон часто называ- ют Н-теоремой (по обозначению — Н, использованному Больцманом для энтропии). § 5 ПЕРЕХОД К МАКРОСКОПИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 29 Столкновения не меняют ни числа сталкивающихся частиц, ни их суммарных энергии и импульса. Ясно поэтому, что столк- новительная часть изменения функции распределения не мо- жет привести к изменению также и макроскопических величин в каждом элементе объема газа — его плотности, внутренней энер- гии и макроскопической скорости V. Действительно, столкно- вительные части изменения полных числа, энергии и импульса молекул в единице объема газа даются равными нулю интегра- лами /St/dT = O, /eSt/dT = O, /pSt/dT = O. E.3) В этих равенствах легко убедиться, применив к интегралам пре- образование D.4) соответственно с ср = 1, е или р (первый ин- теграл обращается в нуль тождественно, а второй и третий — в силу сохранения энергии и импульса при столкновениях). Напишем теперь кинетическое уравнение % + ^-(vaf) = Stf E.4) dt дха и проинтегрируем его по с/Г, предварительно умножив на га, рр или е. Во всех трех случаях правая часть уравнения обратится в нуль и мы получим следующие уравнения: ^ + divpV = 0, E.5) dt | pVa + ^ = 0, E.6) at ox/3 ^7V? + divq = 0. E.7) Первое из них есть обычное гидродинамическое уравнение непре- рывности, выражающее собой сохранение массы газа. Второе уравнение выражает сохранение импульса; тензор П^ опреде- лен как Па/з = / mvavpf dY E.8) и представляет собой тензор плотности потока импульса: его компонента ПаC есть а-я компонента импульса, переносимого молекулами в 1 с через единичную площадку, перпендикуляр- ную оси хр. Наконец, E.7) есть уравнение сохранения энергии; вектор q определен как q = /ev/dr E.9) и представляет собой плотность потока энергии в газе. Для приведения E.6) и E.7) к виду обычных гидродинами- ческих уравнений надо, однако, еще выразить Па^ и Ч через ма- кроскопические величины. Мы уже упоминали, что макроско- пическое описание газа предполагает достаточную малость гра- диентов его макроскопических характеристик. В таком случае в 30 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I первом приближении можно считать, что в каждом отдельном участке газа успевает установиться тепловое равновесие, между тем как весь газ в целом не находится в равновесии. Другими сло- вами, в каждом элементе объема функция распределения / при- нимается локально-равновесной — совпадающей с равновесной функцией /о с теми плотностью, температурой и макроскопиче- ской скоростью, которые имеются в данном элементе. Такое при- ближение означает пренебрежение всеми диссипативными про- цессами в газе — вязкостью и теплопроводностью. Естественно, что уравнения E.6), E.7) сводятся при этом к уравнениям гид- родинамики идеальной жидкости. Убедимся в этом. Равновесное распределение в участке газа, движущемся как целое со скоростью V, отличается от равновесного распределе- ния в неподвижном газе лишь преобразованием Галилея; перейдя в систему отсчета К\ движущуюся вместе с газом, мы получим обычное распределение Больцмана. Скорости v7 молекул в этой системе связаны с их скоростями в исходной системе К посред- ством v = v7 + V. Пишем Пар= mN(vavp)= mN((Va + v'a)(Vp + v'p)) = mN{VaVp + (v'av'p)); члены Vav'o и Vpv'a обращаются в нуль при усреднении по на- правлениям v7, поскольку все направления скорости молекулы в системе К' равновероятны. По этой же причине средний же квадрат тепловой скорости (v/2) = ЗТ/m, где Т — температура газа. Наконец, заметив, что NT есть давление га- за Р, получим ^aP=pVaVp + 8apP, E.11) т. е. известное выражение для тензора потока импульса в иде- альной жидкости; уравнение E.6) с этим тензором эквивалентно гидродинамическому уравнению Эйлера (см. VI, § 7). Для преобразования интеграла E.9) замечаем, что энергия молекулы е в системе отсчета К связана с ее энергией е' в системе К посредством Подставив это выражение HV = v' + VBq = TVev, получим (при усреднении произведения v7(Vv7) использовано E.10)). Но Ne' есть термодинамическая внутренняя энергия газа, отнесен- § 5 ПЕРЕХОД К МАКРОСКОПИЧЕСКИМ УРАВНЕНИЯМ 31 ная к единице объема; сумма же Ne1 + Р есть тепловая функ- ция W того же количества газа. Таким образом, E.12) в согласии с известным выражением потока энергии в гидроди- намике идеальной жидкости (см. VI, § 6). Наконец, остановимся на законе сохранения момента импуль- са в кинетическом уравнении. Строгий закон сохранения должен иметь место лишь для полного момента газа, складывающего- ся из орбитального момента молекул в их поступательном дви- жении и их собственных вращательных моментов М; плотность полного момента дается суммой двух интегралов /[гр]/<*Г + /М/<*Г. E.13) Но эти два члена имеют различный порядок величины. Орби- тальный момент относительного движения двух молекул, нахо- дящихся на среднем расстоянии г друг от друга, порядка вели- чины mv г; собственный же момент молекулы М ~ mvd, т. е. мал по сравнению с орбитальным моментом (поскольку всегда d<r). Естественно поэтому, что кинетическое уравнение Больцма- на, отвечающее первому неисчезающему приближению по малой величине d/r, не может учесть малых изменений орбитального момента, связанных с обменом между двумя частями полного момента E.13). С этим связано то обстоятельство, что уравне- ние Больцмана сохраняет полный орбитальный момент газа: из равенства JpSt/dF = 0, выражающего сохранение импульса, автоматически следует, что и /[гр] St / dV = [г / р St / rfT] = 0. E.14) Происхождение этого свойства очевидно: поскольку в уравнении Больцмана столкновения рассматриваются как происходящие в одной точке, то вместе с суммой импульсов сталкивающихся мо- лекул сохраняется также и сумма их орбитальных моментов. Чтобы получить уравнение, описывающее изменение орбиталь- ного момента, надо было бы учесть члены следующего порядка по d/r, связанные с тем, что в момент соударения молекулы на- ходятся на конечном расстоянии друг от друга. В то же время, однако, самый процесс обмена моментом меж- ду поступательными и вращательными степенями свободы мо- жет быть описан в рамках уравнения Больцмана соотношением /MSt/dI\ E.15) где Л4 — плотность собственного момента вращения молекул. Поскольку при столкновении молекул сумма их собственных мо- ментов не обязана сохраняться, интеграл в правой части E.15), 32 КИНЕТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ГАЗОВ ГЛ. I вообще говоря, отличен от нуля и определяет скорость изменения величины Л4. Если в газе каким-либо искусственным способом создана отличная от нуля плотность момента, то его дальнейшая релаксация будет определяться уравнением E.15).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Переход к макроскопическим уравнениям» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
