Рассмотрим движение частицы в поле типа, изображенно- го на рис. 13, характеризующегося наличием потенциального барьера, — участка, в котором потенциальная энергия U(x) пре- вышает полную энергию Е частицы. В классической механике потенциальный барьер непрони- цаем для частицы; в кванто- вой же механике частица может, с отличной от нуля вероятно- стью, пройти «сквозь барьер» (об этом явлении говорят также, как о туннельном эффекте)г). Если поле U(х) удовлетворяет услови- ям квазиклассичности, то коэф- фициент прохождения через барьер может быть вычислен в об- щем виде. Заметим, что эти условия приводят, в частности, к тому, что барьер должен быть широким и потому коэффициент прохождения в квазиклассическом случае мал. Чтобы не прерывать дальнейших вычислений, решим пред- варительно следующую задачу. Пусть квазиклассическая волно- вая функция в области справа от точки поворота х = Ъ (где Рис. 13 ) Примеры такого рода уже рассматривались в задачах 2 и 4 к § 25. § 50 ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 227 U{x) < Е) имеет вид бегущей волны: E0.1) 4 Ъ Требуется найти волновую функцию этого же состояния в об- ласти х < Ъ. Сделаем это тем же способом обхода в плоскости комплексного ж, который был применен в § 47. Положив Е - U(x) « F0(x - Ь), Fo > 0, напишем функцию E0.1) в виде Ф(х) = ь и произведем в ней обход справа налево по полуокружности в верхней полуплоскости: p(-sin ^ + icos ^ 3 V 2 2 Ъ причем фаза <р меняется от 0 до тт. В течение обхода функ- ция ф(х) сначала убывает, а затем возрастает по модулю, ста- новясь в конце обхода равной ъ Таким образом, находим следующее правило соответствия1): ъ ъ х > Ъ х < Ъ 1) При обходе же справа налево через нижнюю полуплоскость функция ф(х) сначала возрастает, а затем убывает по модулю, превращаясь на левой полуоси {(р —ь — тг) в экспоненциально малую величину, сохранение которой «на фоне» экспоненциально большой функции E0.2) было бы незаконным. На том участке обхода, где ф(х) экспоненциально велико, из-за неточности квазиклассического приближения теряется экспоненциально малая добавка, которая при ср —у — тг могла бы превратиться в экспоненциально большой член, тем самым тоже теряющийся. 228 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ СЛУЧАЙ ГЛ. VII Подчеркнем, что это правило предполагает определенный вид волновой функции (бегущая направо волна) в классически раз- решенной области и должно применяться именно для перехода от последней к классически недоступной области. Вернемся теперь к вычислению коэффициента прохождения через потенциальный барьер. Пусть частица падает на барьер из области / слева направо. Тогда в области /// позади барьера будет иметься лишь прошедшая через барьер волна, распростра- няющаяся вправо; волновую функцию в этой области напишем в виде [D (if = л/ — exp - / pdx+ — E0.3) где v = p/m — скорость частиц, a D — плотность потока в волне. По правилу E0.2) находим теперь волновую функцию в области // внутри барьера: b b x pdx J = a / — exp (- I pdx I pdx J. / V M Vя«/ ^ </ / E0.4) Наконец, применив правило D7.5), получим в области / перед барьером: а х Эта функция, если положить в ней ъ -^ [\p\dx\ E0.5) принимает вид 2 Л Г = —p COS - / a i Л Г = —— exp - / pdx Л— ) = ж "\ I x ( i f ^ i7r\ I -A- pvn I I T) (IT — I I I С-Л. LJ I I АУ Пилу I § 50 ПРОХОЖДЕНИЕ ЧЕРЕЗ ПОТЕНЦИАЛЬНЫЙ БАРЬЕР 229 Первый член в ней (сводящийся при х —>• — ос к плоской волне <ф ~ егрх/ъ^ описывает падающую на барьер волну, а второй — от- раженную волну. Выбранная нормировка отвечает равной едини- це плотности потока в падающей волне, а потому величина D — плотность потока в прошедшей волне — совпадает с искомым ко- эффициентом прохождения через барьер. Подчеркнем, что эта формула применима лишь, если показатель экспоненты велик, так что само D малог). До сих пор предполагалось, что поле U(х) удовлетворяет условию квазиклассичности на всем протяжении барьера (за ис- ключением только непосредственной окрестности точек поворо- та). Фактически же часто приходится иметь дело с барьерами, в которых кривая потенциальной энергии с одной из сторон идет настолько круто, что квазиклассическое приближение непри- менимо. Основной экспоненциальный множитель в D остается здесь тем же, что и в формуле E0.5), но предэкспоненциаль- ный множитель (равный в E0.5) единице) меняется. Для его вычисления необходимо в принципе вычислить точную волно- вую функцию в неквазиклассической области и по соответствию с ней определить квазиклассическую волновую функцию внутри барьера.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Прохолсдение через потенциальный барьер» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
