Движение в кулоновом поле (параболические координаты)
Разделение переменных в уравнении Шредингера, написан- ном в сферических координатах, всегда возможно для движения в любом центрально-симметричном поле. В случае кулонова по- ля разделение переменных оказывается возможным также и в так называемых параболических координатах. Решение задачи о движении в кулоновом поле в параболических координатах полезно при исследовании ряда задач, в которых определенное направление в пространстве является выделенным, например, благодаря наличию внешнего (помимо кулонова) электрическо- го поля (§ 77). § 37 КУЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ) 167 Параболические координаты ?, ту, ср определяются форму- лами х= лДг] cos (р, у=лДг]8т(р, z=-(?-ri), , х C7.1) г = y/x2 + y2 + z2 = -(?+ 77) или обратно: ? = г + 2;, r] = r-z, <p = arctg ^; C7.2) ? и г; пробегают значения от 0 до оо, <^-от 0 до 2тг. Поверх- ности ? = const и rj = const представляют собой параболоиды вращения с осью вдоль оси z и фокусом в начале координат. Эта система координат ортогональна. Элемент длины определяется выражением «Я2 = i±±de + ^dV2 + ^ V, C7.3) а элемент объема: dV = -(^ + r])d^dr]dip. C7.4) Из C7.3) следует для оператора Лапласа выражение [?(<?K("?)]+s&- C75) Уравнение Шредингера для частицы в кулоновом поле при- тяжения приобретает вид Ищем собственные функции ф в виде C7.7) где т — магнитное квантовое число. Подставляя это выражение в уравнение C7.6), умноженное на (? + 77)/4, и разделяя перемен- ные ? и ту, получим для /i и /2 уравнения 168 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V где «параметры разделения» /3i, /З2 связаны друг с другом соот- НОШеНИ6М ft+ fc = l. C7.9) Рассмотрим дискретный спектр энергии [Е < 0). Вводим вместо Е, ?, rj величины п C7.10) после чего получаем уравнение для Д: 2 C7.11) ol pi dpx L 4 pi \ 2 J 4pi _T и такое же уравнение для /2, причем мы ввели также обозначе- ния _ы±1 + п/3 П2 = _и±1 + га/3 C7Л2) 2 2 Подобно тому как было сделано для уравнения C6.4), нахо- дим, что /i ведет себя при больших pi, как е~р1<2, а при малых pi — как Р]771 . Соответственно этому, ищем решение уравне- ния C7.11) в виде (и аналогично для /2) и получаем для u>i уравнение (\т\ + 1 - pi)w[ + n\w\ = 0. Это— снова уравнение вырожденной гипергеометрической функции. Решение, удовлетворяющее условиям конечности, бу- дет wi = F(-ni,\m\ + l,pi), причем п\ долж:но быть целым неотрицательным числом. Таким образом, каждое стационарное состояние дискретно- го спектра определяется в параболических координатах тремя целыми числами: «параболическими квантовыми числами» п\ и П2 и магнитным квантовым числом т. Для числа п («глав- ное квантовое число») имеем из C7.9) и C7.12) п = rci + п2 + \т\ + 1. C7.13) Для уровней энергии получается, разумеется, прежний резуль- тат C6.9). При заданном п число \т\ может принимать п различных значений от 0 до п — 1. При фиксированных п и \т\ число п\ § 37 КУЛОНОВО ПОЛЕ (ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ КООРДИНАТЫ) 169 пробегает п — \т\ значений от 0 до п — \т\ — 1. Учитывая также, что при заданном \т\ можно еще выбрать функции с т = =Ь|т|, найдем, что всего для данного п имеется п-1 2 У^(п - т) + (п - 0) = п2 т=1 различных состояний в согласии с полученным в § 36 результа- том. Волновые функции фП1п2т дискретного спектра должны быть нормированы условием оо оо 2тг J 0 0 0 Нормированные функции имеют вид = 1. C7.14) C7.15) fpm{p) = ^yJ^^n-P, H + l,p)e-"/2pN/2. C7.16) Волновые функции в параболических координатах, в проти- воположность волновым функциям в сферических координатах, не симметричны относительно плоскости z = 0. При п\ > П2 вероятность нахождения частицы на стороне z > 0 больше, чем на стороне z < 0, а при п\ < П2 — наоборот. Непрерывному спектру (Е > 0) соответствует непрерыв- ный спектр вещественных значений параметров /?i, /З2 в урав- нениях C7.8) (разумеется, по-прежнему связанных соотноше- нием C7.9)); мы не станем выписывать здесь соответствую- щих волновых функций. Уравнения C7.8), рассматриваемые как уравнения для «собственных значений» величин /?х, /З2, облада- ют (при Е > 0) также и спектром комплексных значений. Соот- ветствующие волновые функции будут выписаны в § 135, где мы воспользуемся ими для решения задачи о рассеянии в кулоно- вом поле. Существование стационарных состояний \nin2m) связано с наличием дополнительного закона сохранения C6.29). В этих состояниях имеют определенные значения, наряду с энергией, величины lz = т и Az. Вычислив диагональные матричные эле- менты оператора Az, найдем, что Az = ^^. C7.17) 170 ДВИЖЕНИЕ В ЦЕНТРАЛЬНО-СИММЕТРИЧНОМ ПОЛЕ ГЛ. V При этом uz = п\ — П2, а проекции «моментов» ji и }%'. Ш + П1-П2 . Ш-П1+П2 forj 1Оч Л* = 2 = Мь J2z = 2 ^ М2' C7.18) Эти свойства состояний \niri2m) (или, что то же, \nfiifi2)) позволяют легко установить связь между их волновыми функ- циями и волновыми функциями состояний \nlrn). Поскольку 1 = ji +J2, то переход от одного из этих способов описания к другому сводится к задаче о составлении волновых функций при сложении двух моментов (рассмотренной ниже, в §106). В терминах «моментов» ji и J2 состояния \nlrn) и \п\П2Гп) описы- ваются как \jij2l™) и |J1J2M1M2) 5 гДе? согласно C6.35) и C7.13), ^ •" 2 2 Согласно общим формулам A06.9)—A06.11) имеем "n-Г Ш C7.20) 1=0 (D.Park, 1960).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Движение в кулоновом поле (параболические координаты)» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
