В качестве простого примера одномерного движения рас- смотрим движение в прямоугольной потенциальной яме, т. е. в поле с функцией U(ж), изображенной на рис. 1: U(x) = 0 при 0 < х < a, U(x) = Щ и(х) при х < 0, х > а. Заранее очевидно, что при Е < Uq спектр будет дискретным, а при Е > Щ имеется непрерывный спектр двукратно вырожденных уровней. В области 0 < х < а имеем уравнение Шредингера волновые функции стационарных состояний хотя и не обязательно четны или нечетны, но всегда могут быть сделаны таковыми (путем выбора соот- ветствующих линейных комбинаций исходных функций). 92 УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА ГЛ. III (штрих означает дифференцирование по ж), а в области вне ямы ^ О. B2.2) При х = 0, а решения этих уравнений должны переходить друг в друга непрерывно и с непрерывной производной, а при х = = ±ос решение уравнения B2.2) должно оставаться конечным (для дискретного спектра, Е < Щ — обращаться в нуль). При Е < Uq обращающееся на бесконечности в нуль решение уравнения B2.2) есть ф = const -еТ;<ж, к = -J2m(U0-E) B2.3) (знаки — и + в показателе относятся соответственно к областям х > а и х < 0). Вероятность \ф\2 нахождения частицы экспонен- циально затухает в глубь области, в которой Е < U(x). Вместо непрерывности ф и ф1 на границе потенциальной ямы удобно потребовать непрерывности ф и логарифмической производной ф' /ф. Учитывая B2.3), получаем граничное условие в виде \Ф'\/Ф = Т*. B2.4) Мы не станем останавливаться здесь на определении уровней энергии в яме произвольной глубины Щ (см. задачу 2) и разбе- рем полностью только предельный случай бесконечно высоких стенок (С/о —>> ос). При С/о = ос движение происходит лишь на ограниченном точками х = 0, а отрезке, и, как было указано в § 18, граничное условие в этих точках ф = 0. B2.5) (Легко видеть, что это условие получается и из общего усло- вия B2.4). Действительно, при С/о —>> ос имеем также их-^оо и потому ф'/ф —)> ос; поскольку ф' не может обращаться в бес- конечность, то отсюда следует ф = 0.) Ищем решение уравне- ния B2.1) внутри ямы в виде ф = csin(kx + 6), k = ^?™^. B2.6) К Условие ф = 0 при х = 0 дает E = 0, после чего то же условие при х = а дает sin ka = 0, откуда ka = птг (п — целые положительные числа, начиная с единицы1)) или ^2, п = 1,2,3,... B2.7) ) При п = 0 получилось бы тождественно ф = 0. § 22 ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЯМА 93 Этим определяются уровни энергии частицы в потенциальной яме. Нормированные волновые функции стационарных состоя- ний— На основании этих результатов можно непосредственно написать уровни энергии для частицы в прямоугольном «потенциальном ящике», т. е. для трехмерного движения в поле с потенциальной энергией U = 0 при 0 < ж < а, 0 < у < Ъ, 0<z<cnU = oo вне этой области. Именно, эти уровни представляются суммами П1,п2,пз = 1,2,3,..., B2.9) а соответствующие волновые функции — произведениями sm -гУ sm z • B2.10) у о J усу Отметим, что энергия основного состояния оказывается, со- гласно B2.7) или B2.9), порядка Ео ~ H2/ml2, где / — линейные размеры области движения частицы. Этот результат находится в соответствии с соотношениями неопределенности: при неопре- деленности координаты ~ I неопределенность импульса, а с нею и порядок величины самого импульса ~ Н/1; соответствующая энергия ~ (H/lJ/m.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потенциальная яма» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
