Рассмотрим замкнутую систему частиц, не находящуюся во внешнем поле. Поскольку все положения такой системы как це- лого в пространстве эквивалентны, то можно утверждать, что гамильтониан системы не изменится при параллельном перено- се системы на произвольное расстояние. Достаточно потребовать выполнения этого условия для произвольного бесконечно малого смещения; тогда оно будет выполняться и для всякого конечного смещения. Бесконечно малое параллельное смещение на расстояние 5г означает преобразование, при котором радиусы-векторы га всех частиц (а— номер частицы) получают одинаковое прираще- ние 5г: га —>> гс + St. Произвольная функция ^(гь Г2, • • •) коор- динат частиц при таком преобразовании переходит в функцию , Г2 + ?Г, . . . )ф(гЪ Г2 (Va — оператор дифференцирования по ra). Выражение 66 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II есть оператор бесконечно малого переноса, переводящий функ- цию ^(Г1, Г2, • • • ) В фуНКЦИЮ ф(т1 + 5г, Г2 + <Jr, . . . ). Утверждение, что некоторое преобразование не меняет га- мильтониана, означает, что если произвести это преобразование над функцией Нф, то результат будет таким же, как если произ- вести его только над функцией ф и лишь затем применить к ней оператор Н. Математически это может быть записано следую- щим образом. Пусть О есть оператор, «производящий» рассмат- риваемое преобразование. Тогда имеем О(Нф) = Н(Оф), откуда дн-нд = о, т. е. гамильтониан должен быть коммутативен с оператором О. В данном случае оператором О является оператор бесконеч- но малого переноса. Поскольку единичный оператор (оператор умножения на 1) коммутативен, конечно, со всяким вообще опе- ратором, а постоянный множитель 5т может быть вынесен из-под знака if, то условие ОН — НО = 0 сводится здесь к условию V«) Н - Н (Т Vo) = 0. A5.1) а Как мы уже знаем, коммутативность некоторого оператора (не содержащего времени явно) с гамильтонианом означает, что соответствующая этому оператору физическая величина сохра- няется. Величина, сохранение которой для замкнутой системы следует из свойства однородности пространства, есть импульс системы (ср. I, § 7). Таким образом соотношение A5.1) выражает собой закон сохранения импульса в квантовой механике; опера- тор ^2 ^а должен соответствовать, с точностью до постоянно- го множителя, полному импульсу системы, а каждый из членов суммы — импульсу отдельной частицы. Коэффициент пропорциональности между оператором им- пульса р и оператором V может быть определен с помощью пре- дельного перехода к классической механике и равен — ih\ р = -iW, A5.2) или в компонентах: Рх = -^-, Ру = ~гП^-> Pz = -^—. ox oy oz Действительно, воспользовавшись предельным выражением волновой функции F.1), имеем -in- н § 15 импульс 67 т. е. в классическом приближении действие оператора р сводится к умножению на \7S. Но градиент действия и есть классический импульс частицы р (см. I, §43). Легко убедиться в том, что оператор A5.2), как и следова- ло, эрмитов. Действительно, для произвольных функций ф{х) и (f(x), обращающихся на бесконечности в нуль, имеем /<ррхф dx = — iH / ср— dx = iH ф — dx = / ф\ J dx J ox J что и является условием эрмитовости оператора. Поскольку результат дифференцирования функций по двум различным переменным не зависит от порядка дифференциро- вания, то ясно, что операторы трех компонент импульса комму- тативны: РхРу ~ РуРх = 0, pxpz - pzpx = 0, pypz - pzpy = 0. A5.3) Это значит, что все три компоненты импульса частицы могут одновременно иметь определенные значения. Найдем собственные функции и собственные значения опера- торов импульса. Они определяются векторным уравнением -гКЧф = рф. A5.4) Его решения имеют вид ф = const -eipr/n. A5.5) Одновременное задание всех трех компонент импульса полно- стью определяет, как мы видим, волновую функцию частицы. Другими словами, величины рж, ру, pz составляют для частицы один из возможных полных наборов физических величин. Их собственные значения образуют непрерывный спектр, простира- ющийся от —ос до ос. Согласно правилу нормировки собственных функций непре- рывного спектра E.4) интеграл f ф*,фpdV^ взятый по всему пространству (dV = dxdydz\ должен быть равен ^-функции )) По причинам, которые станут ясными из дальнейших при- менений, более естественна, однако, нормировка собственных функций импульса частицы на ^-функцию от разности импуль- сов, деленных на 2тг1г: 1) Дельта-функция от векторного аргумента а (трехмерная E-функция) определяется как произведение E-функций от каждой из компонент вектора: 6 (а) = S(axM(ay)S(az). 68 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II или, что то лее, Г ф*р,фр dV = BтгНK6(р' - р) A5.6) (поскольку каждый из трех множителей, на которые распадается трехмерная 5-функция, S[(pfx— px)/BтгН)]=2тгНд(рх— рх) и т.п.). Интегрирование производится с помощью формулыг) оо ^- [ eiatdt = S(a). A5.7) Из нее очевидно, что для нормировки, согласно A5.6), в функ- циях A5.5) надо положить const = I2): <фр = eipr/n. A5.8) Разложение произвольной волновой функции ф(г) по соб- ственным функциям ее импульса представляет собой не что иное, как разложение в интеграл Фурье: (d3p = dpxdpydpz). В соответствии с формулой E.3) коэффици- енты разложения равны а(р) = [tl>®ip*®dV = f\p®e-ipr/ndV. A5.10) Функцию а(р) можно рассматривать (см. § 5) как волновую функцию частицы в импульсном представлении: 2 d3p — вероятность импульсу иметь значения в интервале d?p. 1) Условный смысл этой формулы состоит в том, что функция, стоящая в левой части равенства, обладает присущим E-функции свойством E.8). Действительно, подставив функцию 6(х — а), выраженную в виде A5.7), в E.8), получим известную интегральную формулу Фурье 2) Обратим внимание на то, что при такой нормировке плотность вероят- ности \ф\2 = 1, т.е. функция нормирована на «одну частицу в единичном объеме». Это совпадение, разумеется, не случайно—ср. ниже примечание на с. 221. § 16 ИМПУЛЬС 69 Подобно тому как оператор р соответствует импульсу, опре- деляя его собственные функции в координатном представлении, можно ввести оператор г координат частицы в импульсном пред- ставлении. Он должен быть определен так, чтобы среднее зна- чение координат могло быть записано в виде A5.11) С другой стороны, это же среднее значение определяется по вол- новой функции ф(т) выражением r= f Подставив ф(т) в виде A5.9) и интегрируя по частям, имеем J V ' Bтг/гK J dp B*hf С помощью этого выражения и учитывая A5.10), находим r= WJ dp Сравнив с A5.11), мы видим, что оператор радиуса-вектора в импульсном представлении имеет вид r = iH—. A5.12) dp Оператор же импульса в этом представлении сводится к умно- жению на р. Наконец, выведем формулу, выражающую через р оператор параллельного переноса в пространстве на любое конечное (а не только бесконечно малое) расстояние а. По определению такого оператора (обозначим его через Га) должно быть Га^(г)=^(г + а). Разлагая функцию ^(г + а) в ряд Тэйлора, имеем или, введя оператор р = — Выражение, стоящее в квадратных скобках, представляет собой оператор f Q A5.13) Это и есть искомый оператор конечного смещения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Импульс» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
