В излагаемом математическом аппарате квантовой механи- ки операторы, соответствующие различным физическим вели- чинам, действуют на функции координат и сами по себе явной зависимости от времени обычно не содержат. Зависимость сред- них значений физических величин от времени возникает лишь через временную зависимость волновой функции состояния со- гласно формуле JM A3.1) Аппарат квантовой механики можно, однако, сформулиро- вать и в несколько другом, эквивалентном, виде, в котором за- висимость от времени перенесена с волновых функций на опе- раторы. Хотя в этой книге мы не будем пользоваться таким представлением (так называемым гейзенберговским в отличие от шредингеровского) операторов, мы сформулируем его здесь, имея в виду дальнейшие применения в релятивистской теории. Введем унитарный (ср. A2.13)) оператор A3.2) где Н — гамильтониан системы. По определению, его собствен- ные функции совпадают с собственными функциями операто- ра i7, т. е. с волновыми функциями стационарных состояний Фп(я), причем SiPn(q) = ехр(-|яп*)^п(д). A3.3) Отсюда следует, что разложение A0.3) произвольной волновой функции Ф по волновым функциям стационарных состояний мо- жет быть записано в операторной форме как Ф(д,«) = 5Ф(д,0), A3.4) т. е. действие оператора S приводит к переводу волновой функ- ции системы в некоторый начальный момент времени в волновую функцию в произвольный момент времени. § 14 МАТРИЦА ПЛОТНОСТИ 61 Введя, в соответствии с A2.7), зависящий от времени опера- тор /(i) = S-'fS, A3.5) будем иметь J(t) = J Ф*(д, 0)/(*)Ф(д, 0) dq, A3.6) т. е. представим формулу для среднего значения величины / (являющуюся определением операторов) в виде, в котором зави- симость от времени полностью перенесена на оператор. Очевидно, что матричные элементы оператора A3.5), по от- ношению к волновым функциям стационарных состояний совпа- дают с зависящими от времени матричными элементами /nm(t), определяемыми формулой A1.3). Наконец, продифференцировав выражение A3.5) по времени (предполагая при этом сами операторы / и Н не содержащими ?), получим уравнение № .[Hf(t)f(t)fi\, A3.7) аналогичное формуле (9.2), но имеющее несколько иной смысл: выражение (9.2) представляет собой определение оператора /, соответствующего физической величине /, между тем как в ле- вой части уравнения A3.7) стоит производная по времени от опе- ратора самой величины /.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Гейзенберговское представление операторов» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
