Гамильтониан замкнутой системы (а также системы, находя- щейся в постоянном — но не в переменном — внешнем поле) не может содержать времени явно. Это следует из того, что по от- ношению к такой физической системе все моменты времени эк- вивалентны. Поскольку, с другой стороны, всякий оператор, ко- нечно, коммутативен сам с собой, то мы приходим к выводу, что у систем, не находящихся в переменном внешнем поле, функция Гамильтона сохраняется. Как известно, сохраняющаяся функ- ция Гамильтона называется энергией. Смысл закона сохранения энергии в квантовой механике состоит в том, что если в данном состоянии энергия имеет определенное значение, то это значение остается постоянным во времени. Состояния, в которых энергия имеет определенные значения, называются стационарными состояниями системы. Они опи- сываются волновыми функциями Фп, являющимися собствен- ными функциями оператора Гамильтона, т. е. удовлетворяющи- ми уравнению Н^п = ЕпЯ?п, где Еп— собственные значения энергии. Соответственно этому, волновое уравнение (8.1) для Этот результат справедлив и для любых двух величин fug: оператор i(fg-gf) в пределе переходит в величину h[f,g], где [/,g] есть скобка Пуас- Это следует из того, что мы всегда можем формально представить себе систему, гамильтониан которой совпадает с g. 48 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II функции Фп — К Ф dt может быть непосредственно проинтегрировано по времени и дает A0.1) где фп — функция только координат. Этим определяется зависи- мость волновых функций стационарных состояний от времени. Малой буквой ф мы будем обозначать волновые функции ста- ционарных состояний без временного множителя. Эти функции, а также сами собственные значения энергии, определяются урав- нением ^ Нф = Еф. A0.2) Стационарное состояние с наименьшим из всех возможных значением энергии называется нормальным или основным со- стоянием системы. Разложение произвольной волновой функции Ф по волновым функциям стационарных состояний имеет вид 5](^)„(?). (Ю.З) П Квадраты |ап|2 коэффициентов разложения, как обычно, опреде- ляют вероятности различных значений энергии системы. Распределение вероятностей для координат в стационарном состоянии определяется квадратом |ФП|2 = \Фп\2] мы видим, что оно не зависит от времени. То же самое относится и к средним значениям / = / Ф^/Фп dq = J ф^/фп dq всякой физической ве- личины / (оператор которой не зависит от времени явно). Как указывалось, оператор всякой сохраняющейся величины коммутативен с гамильтонианом. Это значит, что всякая сохра- няющаяся физическая величина может быть измерена одновре- менно с энергией. Среди различных стационарных состояний могут быть и та- кие, которые соответствуют одному и тому же собственному значению энергии (или, как говорят, энергетическому уров- ню системы), отличаясь значениями каких-либо других физи- ческих величин. О таких уровнях, которым соответствует по нескольку различных стационарных состояний, говорят как о вырожденных. Физически возможность существования вырож- денных уровней связана с тем, что энергия, вообще говоря, не составляет сама по себе полной системы физических величин. § 10 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 49 Уровни энергии системы, вообще говоря, вырождены, если имеются две сохраняющиеся физические величины / и g, опе- раторы которых некоммутативны. Действительно, пусть ф есть волновая функция стационарного состояния, в котором, наряду с энергией, имеет определенное значение величина /. Тогда мож- но утверждать, что функция gip не совпадает (с точностью до постоянного множителя) с *ф\ противное означало бы, что име- ет определенное значение также и величина g, что невозможно, так как / и g не могут быть измерены одновременно. С другой стороны, функция gip есть собственная функция гамильтониана, соответствующая тому же значению Е энергии, что и ф: H(gt/>) = %НгР = Е@г/>). Таким образом, мы видим, что энергии Е соответствуют более чем одна собственная функция, т. е. уровень вырожден. Ясно, что любая линейная комбинация волновых функций, соответствующих одному и тому же вырожденному уровню энер- гии, есть тоже собственная функция того же значения энергии. Другими словами, выбор собственных функций вырожденного значения энергии неоднозначен. Произвольно выбранные соб- ственные функции вырожденного уровня, вообще говоря, не взаимно ортогональны. Надлежащим подбором их линейных комбинаций можно, однако, всегда получить набор взаимно ор- тогональных (и нормированных) собственных функцийг). Эти утверждения относительно собственных функций вы- рожденного уровня относятся, разумеется, не только к собствен- ным функциям энергии, но и к собственным функциям всяко- го оператора. Автоматически ортогональными являются лишь функции, соответствующие различным собственным значениям данного оператора; функции же, соответствующие одному и то- му же вырожденному собственному значению, вообще говоря, не ортогональны. Если гамильтониан системы представляет собой сумму двух (или нескольких) частей, Н = Н\ + J?2, одна из которых содер- жит только координаты gi, а другая—координаты д^, то соб- ственные функции оператора Н могут быть написаны в виде произведений собственных функций операторов Hi и Е.2, а соб- ственные значения энергии равны суммам собственных значений этих операторов. ) Причем это может быть сделано бесчисленным множеством способов; действительно, число независимых коэффициентов в линейном преобразо- вании п функций равно п , а число условий нормировки и ортогональности п функций равно п(п + 1)/2, т.е. меньше п2. 50 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II Спектр собственных значений энергии может быть как дис- кретным, так и непрерывным. Стационарное состояние дискрет- ного спектра всегда соответствует финитному движению систе- мы, т. е. движению, при котором система или какая-либо ее часть не уходит на бесконечность. Действительно, для собственных функций дискретного спектра интеграл J |Ф|2 dq, взятый по все- му пространству, конечен. Это, во всяком случае, означает, что квадрат | Ф |2 достаточно быстро убывает, обращаясь на бесконеч- ности в нуль. Другими словами, вероятность бесконечных зна- чений координат равна нулю, т. е. система совершает финитное движение или, как говорят, находится в связанном состоянии. Для волновых функций непрерывного спектра интеграл f \Ч?\2 dq расходится. Квадрат волновой функции |Ф|2 не опре- деляет здесь непосредственно вероятности различных значе- ний координат и должен рассматриваться лишь как величина, пропорциональная этой вероятности. Расходимость интеграла /|Ф|2с?д всегда бывает связана с тем, что |Ф|2 не обращается на бесконечности в нуль (или обращается в нуль недостаточно быстро). Поэтому можно утверждать, что интеграл /|Ф|2с?д, взятый по области пространства, внешней по отношению к лю- бой сколь угодно большой, но конечной замкнутой поверхно- сти, будет все же расходиться. Это значит, что в рассматрива- емом состоянии система (или какая-либо ее часть) находится на бесконечности. Для волновой функции, представляющей со- бой суперпозицию волновых функций различных стационарных состояний непрерывного спектра, интеграл J |Ф|2с?д может ока- заться сходящимся, так что система находится в конечной обла- сти пространства. Однако с течением времени эта область будет неограниченно смещаться, и в конце концов система уходит на бесконечность. Действительно, произвольная суперпозиция волновых функ- ций непрерывного спектра имеет вид Ф= Г Квадрат модуля Ф может быть написан в виде двойного инте- грала = JJ Если усреднить это выражение по некоторому промежутку вре- мени Г и затем устремить Г к бесконечности, то средние зна- чения осциллирующих множителей ex^p{i(Ef — E)t/fi}, а с ними § 11 МАТРИЦЫ 51 и весь интеграл обратятся в пределе в нуль. Другими словами, среднее по времени значение вероятности нахождения системы в любом заданном месте конфигурационного пространства обра- щается в нуль; но это возможно только, если движение происхо- дит во всем бесконечном пространствех). Таким образом, стационарные состояния непрерывного спек- тра соответствуют инфинитному движению системы.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стационарные состояния» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
