Понятие о производной физической величины по времени не может быть определено в квантовой механике в том смысле, ка- кой оно имеет в классической механике. Действительно, опреде- ление производной в классической механике связано с рассмот- рением значений величины в два близких, но различных момента времени. Но в квантовой механике величина, имеющая в некото- рый момент времени определенное значение, не имеет в следую- щие моменты вообще никакого определенного значения; подроб- нее об этом шла речь в § 1. Поэтому понятие производной по времени должно быть опре- делено в квантовой механике иным образом. Естественно опре- делить производную / от величины / как величину, среднее значение которой равно производной по времени от среднего зна- чения /. Таким образом, имеем, по определению, 7=7- (9-1) Исходя из этого определения, нетрудно получить выраже- ние для квантовомеханического оператора /, соответствующего 46 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ГЛ. II величине /: Здесь df /dt есть оператор, получающийся дифференцированием оператора / по времени, от которого последний может зависеть, как от параметра. Подставляя для производных <ЭФ/<Э?, <ЭФ*/dt их выражения согласно (8.1), получим 7= IV*ftVdq+ l- j{H*4>*)f4>dq- %- J Ф Поскольку оператор Н эрмитов, то таким образом имеем Поскольку, с другой стороны, должно быть, по определению средних значений, / = /Ф*/Фс?д, то отсюда видно, что выра- жение, стоящее в скобках под интегралом, представляет собой искомый оператор f1): j=^+i(Hf-fH). (9.2) ot a ) В классической механике имеем для полной производной по времени от величины /, являющейся функцией обобщенных координат qi и импуль- сов pi системы: df df ^fdf . df Л Подставляя, согласно уравнениям Гамильтона, qi = , pi = , полу- dpi dqi чим + [H,f\, [Н,П^( dt ot ^ \ dqi dpi dpi d [H, f] есть так называемая скобка Пуассона для величин / и Н (см. I, §42). Сравнив с выражением (9.2), мы видим, что при переходе к классическому пределу оператор i(Hf-fH) в первом приближении обращается, как и сле- довало, в нуль, а в следующем (по К) приближении—в величину h[H,f]. § 10 СТАЦИОНАРНЫЕ СОСТОЯНИЯ 47 Если оператор / не зависит от времени явно, то / сводится, с точностью до множителя, к коммутатору оператора / с гамиль- тонианом. Очень важной категорией физических величин являются те, операторы которых не зависят явно от времени и, кроме того, коммутативны с гамильтонианом, так что / = 0. Такие величины называют сохраняющимися. Для них / = / = 0, т. е. / = const. Другими словами, среднее значение величины остается постоян- ным во времени. Можно также утверждать, что если в данном состоянии величина / имеет определенное значение (т. е. волно- вая функция является собственной функцией оператора /), то и в дальнейшие моменты времени она будет иметь определенное— то же самое—значение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дифференцирование операторов по времени» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
