Вернемся снова к процессу измерения, свойства которого бы- ли качественно рассмотрены в § 1, и покажем, каким образом эти свойства связаны с математическим аппаратом квантовой механики. Рассмотрим систему, состоящую из двух частей — классиче- ского прибора и электрона (рассматриваемого как квантовый объект). Процесс измерения заключается в том, что эти две части приходят во взаимодействие друг с другом, в результа- те чего прибор переходит из начального в некоторое другое состояние, и по этому изменению состояния мы судим о со- стоянии электрона. Состояния прибора различаются значени- ями некоторой характеризующей его физической величины (или 40 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I величин) — «показаниями прибора». Обозначим условно эту ве- личину через g, а ее собственные значения через gn; последние пробегают, соответственно классичности прибора, вообще гово- ря, непрерывный ряд значений, но мы будем — исключительно в целях упрощения написания нижеследующих формул — считать спектр дискретным. Описание состояний прибора осуществляет- ся квазиклассическими волновыми функциями, которые будем обозначать через Фп@? гДе инДекс п отвечает «показанию» gn прибора, а ? обозначает условно совокупность его координат. Классичность прибора проявляется в том, что в каждый дан- ный момент времени можно с достоверностью утверждать, что он находится в одном из известных состояний Фп с каким-либо определенным значением величины g, для квантовой системы такое утверждение было бы, разумеется, несправедливым. Пусть Фо(?) есть волновая функция начального (до измере- ния) состояния прибора, а Ф(д) — некоторая произвольная нор- мированная начальная волновая функция электрона (q обозна- чает его координаты). Эти функции описывают состояние прибо- ра и электрона независимым образом, и потому начальная вол- новая функция всей системы есть произведение Далее, прибор и электрон приходят во взаимодействие друг с другом. Применяя уравнения квантовой механики, можно, прин- ципиально, проследить за изменением волновой функции систе- мы со временем. После процесса измерения она, разумеется, уже не будет произведением функций от ? и q. Разлагая ее по соб- ственным функциям Фп прибора (образующим полную систему функций), мы получим сумму вида (О, G-2) где An(q) — некоторые функции от q. Теперь выступает на сцену «классичность» прибора и двой- ственная роль классической механики как предельного случая и в то же время основания квантовой механики. Как уже указы- валось, благодаря классичности прибора в каждый момент вре- мени величина g («показание прибора») имеет некоторое опре- деленное значение. Это позволяет утверждать, что состояние системы прибор + электрон после измерения будет в действи- тельности описываться не всей суммой G.2), а лишь одним чле- ном, соответствующим «показанию» gn прибора: Ап(д)Фп(О. G.3) § 7 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ 41 Отсюда следует, что An(q) пропорциональна волновой функции электрона после измерения. Это не есть еще сама волновая функ- ция, что видно уже из того, что функция An(q) не нормирована. Она включает в себя как сведения о свойствах возникшего со- стояния электрона, так и определяемую начальным состоянием системы вероятность появления n-го «показания» прибора. В силу линейности уравнений квантовой механики связь между An(q) и начальной волновой функцией электрона Ф(д) выражается, вообще говоря, некоторым линейным интеграль- ным оператором f G-4) с ядром Kn(q,q'), которое характеризует данный процесс изме- рения. Мы предполагаем, что рассматриваемое измерение таково, что в результате него возникает полное описание состояния элек- трона. Другими словами (см. §1), в возникшем состоянии веро- ятности для всех величин должны быть независимыми от преды- дущего (до измерения) состояния электрона. Математически это означает, что вид функций An(q) должен определяться самим процессом измерения и не должен зависеть от начальной волно- вой функции Ф(д) электрона. Таким образом, Ап должны иметь вид An(q) = anipn(q), G.5) где срп — определенные функции, которые будем предполагать нормированными, а от начального состояния Ф(д) зависят толь- ко постоянные ап. В интегральной связи G.4) этому соответству- ет ядро Kn(q, g7), разбивающееся на произведение функций толь- ко от q и q': Kn(q,q')=Mq)KW)- G-6) Тогда линейная связь постоянных ап с функцией Ф(д) дается формулами вида ап = J*(q)V*n(q)dq, G.7) где Фп(д) — некоторые определенные функции, зависящие от процесса измерения. Функции (рп(о)— нормированные волновые функции элек- трона после измерения. Таким образом, мы видим, как матема- тический формализм теории отражает возможность получить путем измерения состояние электрона, описанное определенной волновой функцией. 42 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ ГЛ. I Если измерение производится над электроном с заданной волновой функцией Ф(#), то постоянные ап имеют простой фи- зический смысл —в соответствии с общими правилами \ап\ есть вероятность того, что измерение даст n-й результат. Сумма ве- роятностей всех результатов есть единица: а|2 = 1. G.8) Справедливость формул G.7) и G.8) при произвольной (норми- рованной) функции Ф(д) эквивалентна (ср. §3) утверждению, что произвольная функция Ф(д) может быть разложена по функ- циям Фп(д). Это значит, что функции Фп(#) образуют полный набор нормированных и взаимно ортогональных функций. Если начальная волновая функция электрона совпадает с од- ной из функций Фп(д), то, очевидно, соответствующая постоян- ная ап равна единице, а все остальные — нулю. Другими словами, произведенное над электроном в состоянии Фп(д) измерение даст с достоверностью определенный (n-й) результат. Все эти свойства функций Фп(#) показывают, что они яв- ляются собственными функциями некоторой характеризующей электрон физической величины (обозначим ее /), а о рассматри- ваемом измерении можно говорить, как об измерении этой вели- чины. Очень существенно, что функции Фп(д), вообще говоря, не совпадают с функциями (рп(о) (последние, вообще говоря, даже не взаимно ортогональны и не являются системой собствен- ных функций какого-либо оператора). Это обстоятельство пре- жде всего выражает невоспроизводимость результатов измере- ний в квантовой механике. Если электрон находился в состо- янии Фп(д), то произведенное над ним измерение величины / обнаружит с достоверностью значение fn. Но после измерения электрон окажется в состоянии (pn(q), отличном от исходного, в котором величина / уже вообще не имеет какого-либо опре- деленного значения. Поэтому, произведя над электроном непо- средственно вслед за первым повторное измерение, мы полу- чили бы для / значение, не совпадающее с обнаруженным в результате первого измерениях). Для предсказания (в смысле х)Из невоспроизводимости измерений существует, однако, важное исклю- чение— единственной величиной, измерение которой повторимо, является координата. Два измерения координаты электрона, произведенные через до- статочно короткий промежуток времени, должны дать близкие значения; противное означало бы, что электрон имеет бесконечную скорость. Матема- тически это связано с тем, что координата коммутативна с оператором энер- гии взаимодействия электрона и прибора, являющейся (в нерелятивистской теории) функцией только от координат. § 7 ВОЛНОВАЯ ФУНКЦИЯ И ИЗМЕРЕНИЯ 43 вычисления вероятности) результата повторного измерения при известном результате первого измерения надо от первого изме- рения взять волновую функцию (рп(о) созданного им состоя- ния, а от второго—волновую функцию Фп((?) того состояния, вероятность которого нас интересует. Это означает следующее. Из уравнений квантовой механики определяем волновую функ- цию (y9n(g,t), которая в момент времени первого измерения рав- на (pn(q). Вероятность m-го результата второго измерения, про- изведенного в момент времени ?, дается квадратом модуля инте- грала / (pn(q, t)^*m{q) dq. Мы видим, что процесс измерения в квантовой механике име- ет «двуликий» характер—его роли по отношению к прошлому и будущему не совпадают. По отношению к прошлому оно «ве- рифицирует» вероятности различных возможных результатов, предсказываемые по состоянию, созданному предыдущим изме- рением. По отношению же к будущему оно создает новое состо- яние (см. также §44). В самой природе процесса измерения за- ложена, таким образом, глубокая необратимость. Эта необратимость имеет важное принципиальное значение. Как мы увидим в дальнейшем (см. конец § 18), основные уравне- ния квантовой механики сами по себе обладают симметрией по отношению к изменению знака времени; в этом отношении кван- товая механика не отличается от классической. Необратимость же процесса измерения вносит в квантовые явления физическую неэквивалентность обоих направлений времени, т. е. приводит к появлению различия между будущим и прошедшим.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Волновая функция и измерения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
