Применим уравнения гидродинамики гелия II к распростра- нению звука в этой жидкости. Как обычно, в звуковой волне скорости движения предполагаются малыми, а плотность, давле- ние, энтропия — почти равными своим постоянным равновесным значениям. Тогда систему гидродинамических уравнений можно линеаризовать — в A39.12)—A39.14) пренебрегаем квадратичны- ми по скорости членами, а в уравнении A39.5) можно вынести в члене div (psvn) энтропию ps из-под знака div (поскольку этот член уже содержит малую величину vn). Таким образом, систе- ма гидродинамических уравнений приобретает вид | 0, A41.1) ^ 0, A41.2) f + Vp = 0, A41.3) ^ + V/z = 0. A41.4) Дифференцируя A41.1) по времени и подставляя A41.3), по- лучаем ?? = ДР- A41.5) Согласно термодинамическому соотношению d\i = —sdT + dp/p имеем \7р = Подставляя сюда \7р из A41.3) и V/i из A41.4), получим Применяем к этому уравнению операцию div, а для div (vs — vn подставляем выражение -,. / ч р ds div(ve-vn) = — — , pss at следующее из равенства ds I d(ps) s dp -.. . s sp — = —^- --^ = -sdivvn + - at p at p at p В результате получаем уравнение AT. A41.6) dt2 pn 722 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI Уравнения A41.5) и A41.6) определяют распространение зву- ка в сверхтекучей жидкости. Уже из того факта, что этих уравне- ний—два, видно, что существуют две скорости распространения звука. Напишем «s, _р, р, Т в виде s = sq + s7, р = ро + р' и т. д., где буквы со штрихом представляют собой малые изменения соот- ветствующих величин в звуковой волне, а величины с индексом нуль (который мы ниже для краткости опускаем) — их постоян- ные равновесные значения. Тогда можно написать: / = dpi + ^Т, , = да, д^т, и д/ дт ' д/ дт ' и уравнения A41.5) и A41.6) принимают вид дРд2р' д dt2 р дт dt2 ' d dt2 дт д дР dt2 р дт dt2 ' dp dt2 дт dt2 Рп Ищем решение этих уравнений в виде плоской волны, в ко- торой р' и Т' пропорциональны множителю е-г^(г~х/и) (скорость звука обозначаем здесь буквой и). В качестве условия совмест- ности обоих уравнений получаем уравнение з, р) _ и2 fds_ ps^_dp\ р^_ _ q дТ d) д(Т,р) \дТ рп (где 9(s, р)/д(Т, р) обозначает якобиан преобразования от s, p кТ, р). Путем простого преобразования с использованием тер- модинамических соотношений этому уравнению можно придать вид „4 _„*[(*) +^И]+е^(др) =0 (Ш.7) 1\др/ s рпСу -I рпСу \др/Т (cv — теплоемкость единицы массы). Это квадратное (по и2) уравнение определяет две скорости распространения звука в ге- лии П. При ps = 0 один из корней этого уравнения обращается в нуль, и мы получаем, как и должно было быть, всего одну обычную скорость звука и1 = (dp/dp)s. Фактически теплоемкости ср и cv гелия II при температурах, не слишком близких к А-точке, близки друг к другу (ввиду мало- сти коэффициента теплового расширения). Согласно известной термодинамической формуле в этих условиях близки друг к дру- гу также и изотермическая и адиабатическая сжимаемости: др\ = ($р\ с. и (Щ дрУТ \dpJsCp \dpJs Обозначив общее значение ср и cv через с, а общее значение (др/др)т и (dp/dp)s через др/др, получим из уравнения A41.7) § 141 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 723 следующие выражения для скоростей звука: A41.? Одна из них, щ, почти постоянна, а другая, г^, сильно зависит от температуры, обращаясь вместе с ps в нуль в А-точке . Вблизи А-точки, однако, коэффициент теплового расширения не мал и пренебрегать разницей между ср и cv нельзя. Чтобы получить формулу для U2 в этом случае, следует опустить второй член в квадратной скобке в A41.7) (содержащий ps) и член г^4, который в этом случае мал (так как и% стремится к нулю). Кроме того, можно положить рп ~ р. В результате получим /Тя2п u2 = J-^. A41.9) Для скорости же и\ получается формула A41.8), где под др/др следует понимать (dp/dp)Si т. е. обычная формула для скорости звука. По поводу формулы A41.9) следует заметить, что она при- менима лишь при достаточно низких частотах — тем более низ- ких, чем ближе жидкость находится к А-точке. Дело в том, что (как было уже упомянуто в примеч. на с. 715) вблизи А-точки неограниченно возрастает время релаксации т параметра поряд- ка; формула A41.9), не учитывающая дисперсии и поглощения звука, справедлива лишь при условии шт<^1. Что касается скоро- сти щ, то вблизи А-точки появляется дополнительное затухание, связанное с релаксацией параметра порядка — в соответствии с общими утверждениями в § 81. При самых низких температурах, когда почти все элементар- ные возбуждения в жидкости являются фононами, величины /эп, с, s связаны друг с другом соотношениями 2) сТ a ps « р. Подставив эти выражения в формулу A41.8) для г^, найдем U2 = I Таким образом, при стремлении температуры к нулю скорости и\ и U2 стремятся к постоянным пределам, причем так, что их отношение стремится к уЗ. *) О распространении звука в смесях жидкого 4Не с 3Не — см. гл. XIII ука- занной на с. 717 книги И.М. Халатникова. ) Их легко получить из формул для термодинамических величин гелия II, приведенных в IX, § 22, 23. 724 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI Для лучшего выяснения физической природы обоих видов звуковых волн в гелии II рассмотрим плоскую звуковую волну (Е.М. Лифши% 1944). В такой волне скорости vSi vn и перемен- ные части Т7, р' температуры и давления пропорциональны друг другу. Введем коэффициенты пропорциональности согласно vn = avs, p' = bvs, T1 = cvs. A41.10) Простое вычисление с помощью уравнений A41.1)—A41.6), про- изведенное с должной степенью точности, дает ., . /Зр и\и\ , pss (ul-ul) c{ulul) о 2 2 о 2 2 ^141.11J ps /Зр щи2 7 /Зрщщ и2. «2 — -— + 7~2 2Y' Ь2~~Г~2 2V' 2 ~ ~~ ' рте S/9n (^ — Щ) S\U{—U2) S здесь /3 = ——^-—температурный коэффициент расширения; р дТ ввиду его малости величины, содержащие /3, малы по сравнению с соответствующими величинами, не содержащими /3. Мы видим, что в звуковой волне первого типа vn « vs, т. е. в такой волне в каждом элементе объема жидкость колеблется в первом приближении как целое; нормальная и сверхтекучая мас- сы движутся вместе. Естественно, что эти волны соответствуют обычным звуковым волнам в обычных жидкостях. В волне же второго типа имеем vn « — — vs, т. е. полная плот- рп ность потока вещества j = psvs + pnwn w 0. Таким образом, в волне второго звука сверхтекучая и нормаль- ная массы жидкости колеблются навстречу друг другу, так что в первом приближении их центр инерции в каждом элементе объ- ема остается неподвижным и суммарный поток вещества отсут- ствует. Ясно, что этот вид волн специфичен для сверхтекучей жидкости. Между обоими видами волн имеется и другое существенное отличие, видное из формул A41.11). В звуковой волне обычно- го звука амплитуда колебаний давления относительно велика, а амплитуда колебаний температуры мала. Напротив, в волне вто- рого звука относительная амплитуда колебаний температуры ве- лика по сравнению с относительной амплитудой колебаний дав- ления. В этом смысле можно сказать, что волны второго звука представляют собой своеобразные незатухающие температурные ) Они не имеют, разумеется, ничего общего с затухающими «температур- ными волнами» в обычной теплопроводящей среде (§ 52). § 141 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 725 В приближении, в котором тепловым расширением пренебре- гается вовсе, волны второго звука представляют собой чисто тем- пературные колебания (с j = 0), а волны первого звука —коле- бания давления (с vs = vn). Соответственно этому их уравнения движения полностью разделяются: в уравнении A41.6) пишем sf = сТ'/Т и получаем ^ A41.12) а в уравнении A41.5) полагаем о1 = — р1 и получаем др ^ = uJApf. A41.13) С описанными свойствами звуковых волн в гелии II тесно свя- зан и вопрос о различных способах их возбуждения (Е.М. Лиф- ши% 1944). Обычные механические способы возбуждения звука (колеблющимися твердыми телами) крайне невыгодны для по- лучения второго звука в том смысле, что интенсивность излуча- емого второго звука ничтожно мала по сравнению с интенсив- ностью одновременно излучаемого обычного звука. В гелии II возможны, однако, и другие, специфические для него способы возбуждения звука. Таково излучение твердыми поверхностями с периодически меняющейся температурой; интенсивность излу- чаемого второго звука оказывается здесь большой по сравнению с интенсивностью первого звука, что естественно ввиду указан- ного выше различия в характере колебаний температуры в этих волнах (см. задачи 1 и 2). При распространении волны второго звука большой ампли- туды его профиль постепенно деформируется в результате эф- фектов нелинейности, и это приводит в конце концов к возникно- вению разрывов — как и для обычного звука в обычной гидроди- намике (ср. § 101, 102). Рассмотрим эти явления для одномерной бегущей волны второго звука (И.М. Халатников, 1952). В одномерной бегущей волне все величины (р, р, Т, vSl vn) могут быть выражены в виде функций от одного параметра, в качестве которого может быть выбрана, например, одна из самих этих величин (§ 101). Скорость U перемещения точки профиля волны равна производной dx/dt, взятой при определенном значе- нии этого параметра. Производные по координате и времени от каждой величины связаны друг с другом соотношением d/dt = = -Ud/dx. Вместо скоростей vs и vn будет удобнее пользоваться величи- нами v = j Ip и w = vn — vs] выбираем такую систему координат, в которой скорость v в данной точке профиля волны равна ну- лю. Гидродинамические уравнения A39.3)—A39.6) (с П, /i, p, s из 726 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI формул A39.12)—A39.15)) приводят к следующей системе урав- нений: -U%' - Up2°-^ww' + pv' = 0, A41.14) dp dp p р + 2^-ww' - Upv' = 0, A41.15) р ' = °' A41.16) [-рз + Uw^]Tf + [l + Uwpjj-J]i/ + [PnU - p-^w]wf - - [Up + wpn]v' = 0. A41.17) Здесь опущены все члены выше второго порядка малости, а так- же все члены, содержащие коэффициент теплового расширения; штрих означает везде дифференцирование по параметру . В волне второго звука относительная амплитуда колебаний р и v мала по сравнению с амплитудами Т и ги; поэтому можно опу- стить также и члены, содержащие wp\ wvf. Для определения U достаточно рассмотреть уравнение A41.16) и разность уравне- ний A41.15) и A41.17). Условие совместности получающихся та- ким образом двух линейных уравнений для Т' и w' приводит к квадратному уравнению п Tj2ds - Uw\*p8pn ds - 2saH - о s2 - П откуда sT d V p pnc Здесь U2 — местное значение скорости второго звука, меняюще- еся от точки к точке профиля волны вместе с отклонением ST температуры от ее равновесного значения. Разлагая и^ по степе- ням 5Т, получим , dU2 err d U2 = U20 + —ST = 1620 дТ ST 1620 + ^fЩ дТ дТ ps где U20 — равновесное значение U2. Окончательно получим ^^ A41.18) При достаточно сильном искаж:ении профиля волны в ней возникают разрывы (ср. § 102) —в данном случае температурные ) А не переменную часть колеблющихся величин, как это было выше в этом параграфе! § 141 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 727 разрывы. Скорость распространения разрыва равна полусумме скоростей U с обеих сторон разрыва, т. е. равна С20 2 рс дТ где w\, W2 — значения w на обеих сторонах разрыва. Коэффициент при w в выражении A41.18) может быть как положительным, так и отрицательным. В зависимости от этого точки с большими значениями w либо опережают, либо отстают от точек с меньшими значениями w, а разрыв соответственно возникает либо на переднем, либо на заднем фронте волны (в противоположность обычному звуку, где ударная волна возни- кает всегда на переднем фронте).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение звука в сверхтекучей жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 