Для учета диссипативных процессов в уравнениях гидроди- намики сверхтекучей жидкости надо (как и в обычной гидро- динамике) ввести в них дополнительные члены, линейные по пространственным производным скоростей и температуры. Вид этих членов может быть установлен однозначным образом, ис- ходя из требований, налагаемых законом возрастания энтропии и принципом симметрии кинетических коэффициентов Онсагера [И. М. Халатников, 1952). Как и прежде, р и j — масса и импульс единицы объема жид- кости. Уравнение непрерывности сохраняет свой вид A39.3). В уравнения же A39.4), A39.6), A39.7) надо ввести дополнитель- ные члены, которые напишем в их правых частях: dt dxk дхк |i + v(| + /,)=-V^ A40.2) — + divQ = -divQ/. A40.3) Энтропийное же уравнение не имеет теперь вида уравнения сохранения A39.5); напротив, величины П7, ср , Q7 должны быть определены так, чтобы обеспечить возрастание энтропии. Для этого снова подставляем в уравнение сохранения энергии A40.3) производную dEo/dt, выраженную с помощью A39.9), после че- го исключаем производные р, j, vs с помощью A39.3), A40.1), A40.2). При этом подразумевается, что Q и П даются уже из- вестными выражениями A39.11), A39.12); поэтому сокращаются все члены, за исключением связанных с энтропией и с диссипа- *) Полный вывод гидродинамических уравнений для смесей — см. кн.: Халатников И.М. Теория сверхтекучести. — М.: Наука, 1971, гл. XIII. Эти уравнения становятся неприменимыми при очень низких температурах, ког- да возникает квантовое вырождение элементарных возбуждений, связанных с атомами примеси. 718 ГИДРОДИНАМИКА СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ ГЛ. XVI тивными величинами П7, Q7, ср'. В результате получим уравнение = - div {Q' + p8w<p' - (nVn)} + if1 div (psw) - Ufik ™™- A40.4) ox k (здесь снова w = vn — vs). Линейные по градиентам выражения величин П7, Q7, cpf, обес- печивающие возрастание энтропии, имеют вид %к дхк дхг 3 - SikCi div (psw) - Sikb div vn, A40.5) ip' = Сз div (pew) + C4 divvn, A40.6) Q' = -<p'paw + (n'vn) - xVT A40.7) (в П7д, выделена комбинация производных от vn с равным нулю следом — подобно тому, как это делается в обычной гидродина- мике) . При этом согласно принципу Онсагера должно быть G = С4, A40.8) так что остается всего 5 независимых кинетических коэффи- циентов 2) . Наконец, подставив выражения A40.5)—A40.7) в уравнение A40.4), после простых преобразований приведем его к виду где 2 V <9xfc аж^ 3 / + C2(div vnJ + C3(divpswJ + ^(VTJ. A40.10) x) Здесь учитывается также и условие, что вращение нормальной части жидкости как целого (уп = [fir]) не должно приводить к диссипации (ср. § 15). 2) Мы не будем проводить полностью соответствующих рассуждений (вполне аналогичных, например, излагавшимся в § 59). Обратим лишь вни- мание на то, что (д—коэффициент при div(/9sw) в ГГ7, а в правую часть уравнения A40.4) этот член в И' входит умноженным на divvn; наоборот, <^4 — коэффициент при divvn в <р , которое входит в правую часть A40.4) умноженным на div (psw). § 140 ДИССИПАТИВНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СВЕРХТЕКУЧЕЙ ЖИДКОСТИ 719 Это уравнение — аналог общего уравнения переноса тепла обыч- ной гидродинамики D9.5) . Так как правая часть уравнения определяет скорость возрастания энтропии жидкости, то она должна быть существенно положительной величиной. Отсюда следует, что все коэффициенты г/, (д, B, Сз5 к положительны, причем сверх того (^ ^ С2Сз- Коэффициент г/ «первой вязко- сти», связанный с нормальным движением, аналогичен вязко- сти обычной жидкости, а коэффициент ж формально аналогичен теплопроводности обычной жидкости; коэффициентов же «вто- рой вязкости» имеется теперь три ((д, B, Сз) вместо одного в обычной гидродинамике. По поводу изложенных результатов необходимо, однако, сде- лать еще следующее замечание. Диссипируемая в жидкости энер- гия, разумеется, инвариантна относительно галилеева преобра- зования системы отсчета. Производные от скорости этому тре- бованию конечно удовлетворяют, но в сверхтекучей жидкости галилеевски инвариантна также и разность скоростей w = vn — — vs. Поэтому и диссипативные потоки в сверхтекучей жидкости могут зависеть не только от градиентов термодинамических ве- личин и скоростей, но и от самой w. Как уже было отмечено в § 139, эта разность фактически должна рассматриваться как малая величина, и в этом смысле выражения A40.5), A40.6) со- держат в себе не все в принципе возможные члены, но лишь наибольшие из них 2) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Диссипативные процессы в сверхтекучей жидкости» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
