Рассмотрим обтекание хорошо обтекаемого тонкого «крыла» дозвуковым потоком сжимаемого газа. Как и в несжимаемом га- зе, хорошо обтекаемое дозвуковым потоком крыло должно быть тонким и иметь заостренную заднюю и закругленную переднюю кромки; угол атаки должен быть малым. Выберем направление обтекания в качестве оси ж, а ось z — в направлении размаха кры- ла. Скорость газа во всем пространстве будет лишь незначи- тельно отличаться от скорости vi натекающего потока, так что можно применять линеаризованное уравнение A14.4) для потен- циала: На поверхности крыла (которую будем называть поверх- ностью С) скорость должна быть направлена по касательной к ней; вводя единичный вектор п нормали к поверхности крыла, напишем это условие в виде д(Р\„ _l дЧ>„ -L^n =о. дх) ду у dz Поскольку крыло обладает уплощенной формой и угол атаки мал, то нормаль п направлена почти параллельно оси у, так что \пу\ близко к единице, а пж, nz малы. В написанном условии мы можем поэтому опустить малые члены второго порядка пж — д дх и nz —, а вместо пу написать ±1 (+1 на верхней поверхности крыла и —1 на нижней). Таким образом, граничное условие к уравнению A24.1) приобретает вид Vlnx ± <tP = 0. A24.2) ду В силу предположенной тонкости крыла значение дср/ду на его поверхности можно вычислять просто как предел при у —>> 0. Задачу о решении уравнения A24.1) с условием A24.2) можно легко привести к задаче об обтекании несжимаемой жидкостью. Для этого введем вместо координат ж, у, z переменные х' = х, у' = yJl - Mf, *' = zJl - Mf. A24.3) ) За исключением лишь небольшой области вблизи передней кромки кры- ла — вблизи линии остановки газа. § 124 ДОЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ ТОНКОГО КРЫЛА 647 В этих переменных уравнение A24.1) принимает вид т. е. переходит в уравнение Лапласа. Что касается формы об- текаемой поверхности, то введем вместо нее другую, С", оставив неизменным профиль сечений крыла поверхностями, параллель- ными плоскости ху, уменьшив только в отношении (l — М^) все размеры вдоль размаха крыла (оси z). Граничное условие A24.2) приобретает тогда вид и для приведения его к обычному виду введем вместо ср новый потенциал if': ' A24.5) Для if' будем иметь то же уравнение Лапласа и граничное условие ду' которое должно удовлетворяться при у' = 0. Но уравнение A24.4) с граничным условием A24.6) есть уравнение, которому должен удовлетворять потенциал скорости несжимаемой жидкости, обтекающей тело с поверхностью С. Таким образом, задача об определении распределения скоростей при обтекании крыла с поверхностью С сжимаемой жидкостью сводится к нахождению распределения скоростей при обтекании несжимаемой жидкостью крыла с формой поверхности С'. Рассмотрим, далее, действующую на крыло подъемную си- лу Fy. Раньше всего замечаем, что произведенный в § 38 вывод формулы Жуковского C8.4) полностью применим и к сжимае- мой жидкости, поскольку вместо переменной плотности р жид- кости все равно надо в том же приближении писать постоянную величину р\. Таким образом, J A24.7) где интегрирование производится по всей длине lz размаха кры- ла. Из соотношения A24.5 )и одинаковости поперечных профи- лей крыльев С ж С1 следует, что циркуляция Г скорости при об- текании крыла С сжимаемой жидкостью связана с циркуляцией 648 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Г7 скорости при обтекании крыла С несжимаемой жидкостью соотношением Г7 = r^l-Mf. A24.8) Подставляя это в A24.7) и переходя от интегрирования по dz к интегрированию по dz1', получим -pivi / V dz' p — I y 1 - Mf Величина, стоящая в числителе, представляет собой подъемную силу, действующую на крыло С в несжимаемой жидкости. Обо- значая ее через F'y1 имеем Fy = —^—. A24.9) 1 — м? Вводя коэффициенты подъемной силы Су = ^ , С' = ^ У (l/2)p1v21ljz' у (l/2)Plvllxl>z (где lx, lz n lx, lfz = lzy/l — ЪЩ — длины крыльев С ж С' вдоль осей х и z\ перепишем это равенство в виде Су = -А=- A24.10) Для крыльев достаточно большого размаха (с постоянным вдоль размаха профилем сечения) коэффициент подъемной си- лы в несжимаемой жидкости пропорционален углу атаки и не зависит от длины и ширины крыла: С'у = const -a, A24.11) где const зависит только от формы профиля сечения (см. § 46). В этом случае можно поэтому написать вместо A24.10) A24.12) где Су и Су — коэффициенты подъемной силы одного и того же крыла соответственно в потоках сжимаемого и несжимаемо- го газа. Таким образом, мы получим такое правило: подъемная сила, действующая на длинное крыло в потоке сжимаемого га- за, в A — М^)/2 раз больше подъемной силы, действующей на такое же крыло (при том же, в частности, угле атаки) в потоке несжимаемого газа {L. Prandtl, 1922; Н. Glauert, 1928). § 125 СВЕРХЗВУКОВОЕ ОБТЕКАНИЕ КРЫЛА 649 Аналогичные соотношения можно получить и для силы со- противления. Наряду с формулой Жуковского для подъемной силы полностью переносится в теорию сжимаемой жидкости так- же и формула D7.4) для индуктивного сопротивления крыла. Произведя в ней те же преобразования A24.3) и A24.8), по- лучим F* = гй< A24ЛЗ) где F'x — сопротивление крыла С в несжимаемой жидкости. При увеличении длины размаха индуктивное сопротивление стремит- ся к постоянному пределу (§ 47). Поэтому для достаточно длин- ных крыльев можно заменить Fx на Fx (сопротивление в несжи- маемой жидкости того же крыла С, к которому относится Fx). Тогда для коэффициента сопротивления имеем Сх = ——. A24.14) Сравнив с A24.12), мы видим, что при переходе от несжимаемой жидкости к сжимаемой остается неизменным отношение Су/Сх. Все изложенные здесь результаты, разумеется, неприменимы при слишком близких к единице значениях Mi, когда вообще становится неприменимой линеаризованная теория.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Дозвуковое обтекание тонкого крыла» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
будет лишь незначи- 