Образование ударных волн при сверхзвуковом обтекании тел
Простые соображения показывают, что при обтекании про- извольного тела сверхзвуковым потоком перед телом возникает ударная волна. Действительно, в сверхзвуковом потоке возму- щения, обусловленные наличием обтекаемого тела, распростра- няются только вниз по течению. Поэтому натекающий на те- ло однородный сверхзвуковой поток должен был бы доходить до самого переднего конца тела невозмущенным. Но тогда на поверхности этого конца нормальная компонента скорости газа была бы отличной от нуля в противоречии с необходимым гра- ничным условием. Выходом из этого положения может являться только возникновение ударной волны, в результате чего движе- ние газа между нею и передним концом тела становится дозвуковым. Таким образом, при сверхзвуковом обтекании тела перед ним возникает ударная волна; ее называют головной. При обтекании тела с тупым передним концом эта волна не соприкасается с са- мим телом. Спереди от ударной волны поток однороден, а позади нее движение меняется, и поток огибает обтекаемое тело (рис. 127 а). Поверхность ударной волны уходит на бесконечность, причем вдали от тела, где интенсивность волны мала, она пересекает направление набегающего потока под уг- лом, близким к углу Маха. Характерной чертой обтекания тела с тупым концом является существование дозвуковой области те- чения за ударной волной — позади наиболее выдающейся вперед части ее поверхности; эта область простирается до обтекаемого тела и, таким образом, ограничена поверхностью разрыва, по- верхностью тела и «боковой» звуковой поверхностью (штрихо- вые линии на рис. 127 а). Ударная волна может соприкасаться с телом только если его передний конец заострен. Тогда поверхность разрыва тоже обладает точкой заострения, совпадающей с острием тела Рис. 127 § 122 ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 637 (рис. 127 б); при несимметричном обтекании часть этой поверх- ности может являться поверхностью слабого разрыва. Для тела заданной формы такой режим обтекания оказывается, однако, возможным лишь при скоростях, превышающих определенный предел; при меньших скоростях ударная волна отрывается от носика тела, несмотря на наличие острия (см. § 113). Рассмотрим осесимметричное сверхзвуковое обтекание тела вращения и определим давление на переднем закругленном кон- це тела (в точке остановки — точка О на рис. 127 а). Из сообра- жений симметрии очевидно, что линия тока, заканчивающаяся в точке О, пересекает ударную волну в нормальном к ней на- правлении, так что в точке А нормальная к поверхности разры- ва компонента скорости совпадает с полной скоростью. Значения величин в набегающем потоке отмечаем, как обычно, индексом 1, а значения величин в точке А на задней стороне ударной волны — индексом 2. Последние определяются по формулам (89.6), (89.7) в виде V2 = C\ - Давление po в точке О (в которой скорость газа v = 0) мож:но получить теперь с помощью формул, определяющих изменение величин вдоль линии тока. Имеем (см. задачу к § 83): 7 - и простое вычисление приводит к следующему результату: Этим и определяется давление на переднем конце тела, обтекае- мого сверхзвуковым потоком (Mi > 1). Для сравнения приведем формулу для давления в точке оста- новки, которое получилось бы в результате непрерывного адиа- батического торможения газа без ударной волны (как это было бы при дозвуковом обтекании): -1, A22.2) При Mi = 1 обе формулы дают одинаковое значение ]9о, а при 638 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII Mi > 1 давление A22.2) всегда превышает истинное давление, даваемое формулой A22.1) х). В предельном случае очень больших скоростей (Mi ^> 1) фор- мула A22.1) дает -1l"-1Ml A22.3) т. е. давление ро пропорционально квадрату скорости обтекания. На основании этого результата можно сделать заключение о том, что и полная испытываемая телом сила сопротивления при ско- ростях, больших по сравнению со скоростью звука, пропорцио- нальна квадрату скорости. Обращаем внимание на то, что этот закон — такой же, по которому меняется сила сопротивления при скоростях, малых по сравнению со скоростью звука, но настоль- ко больших, чтобы число Рейнольдса было достаточно велико (см. § 45). Помимо самого факта необходимости возникновения удар- ных волн, можно еще утверждать, что при сверхзвуковом обте- кании конечного тела на больших расстояниях от него во всяком случае должны иметься две следующие друг за другом ударные волны (Л. Ландау, 1945). Действительно, на больших расстояни- ях от тела вызываемые им возмущения слабы и поэтому их мож- но рассматривать как цилиндрическую звуковую волну, расходя- щуюся от оси ж, проходящей через тело параллельно направле- нию обтекания; рассматривая, как это мы везде делаем, движе- ние в той системе координат, в которой тело покоится, мы будем иметь волну, в которой роль времени играет x/v\, а роль ско- рости распространения v\/л^Ш\ — 1 (см. ниже § 123). Поэтому мы можем непосредственно применить результаты, полученные в § 102 для цилиндрической волны на больших расстояниях от источника. Таким образом, мы приходим к следующей картине ударных волн на далеком расстоянии от тела: в первой ударной волне давление испытывает скачок вверх, так что за ней воз- никает сгущение; затем давление постепенно убывает, сгущение 1) Это утверждение имеет общий характер и не связано с предполагаемой в A22.1), A22.2) политропностью газа (и даже с его термодинамической идеальностью). Действительно, при наличии ударной волны энтропия газа в точке О so > si, между тем как в ее отсутствие энтропия была бы равна s\. Тепловая же функция в обоих случаях равна wq = w\ -\-v2/2, так как при пересечении линией тока прямого скачка уплотнения величина w + v2 /2 не меняется. Но из термодинамического тождества dw = T ds + dp/p следует, что производная (dp/ds)w = -РТ < 0, т. е. увеличение энтропии при постоянном w уменьшает давление, чем и доказывается сделанное утверждение. § 122 ОБРАЗОВАНИЕ УДАРНЫХ ВОЛН 639 сменяется разрежением, после чего давление вновь возрастает скачком во второй ударной волне. Интенсивность передней удар- ной волны падает с увеличением расстояния г от оси х как г~3/4, а расстояние между обеими волнами возрастает как г1'4 г) . Проследим за появлением и развитием ударных волн при по- степенном увеличении числа Маха Mi. Сверхзвуковая область в газовом потоке появляется впервые при некотором значении Mi < 1 в виде области, прилегающей к поверхности обтекаемого тела. В этой области появляется по крайней мере одна ударная волна — обычно замыкающая сверхзвуковую область. По мере увеличения Mi эта область расширяется, а вместе с ней удлиня- ется и ударная волна, существование которой при Mi = 1 было доказано (для плоского случая) в § 120; тем самым была дока- зана необходимость первого появления ударной волны уже при Mi < 1. Как только Mi начинает превышать единицу, появляет- ся еще одна ударная волна — головная волна, пересекающая весь бесконечно широкий натекающий поток газа. При Mi, в точности равном единице, все течение впереди тела является дозвуковым. Поэтому при Mi > 1, но сколь угодно близком к единице, сверх- звуковая часть натекающего потока, а с нею и головная удар- ная волна находятся сколь угодно далеко впереди тела. По мере дальнейшего увеличения Mi головная волна постепенно прибли- жается к телу. Ударная волна в местной сверхзвуковой зоне должна каким- то образом пересекаться со звуковой линией (мы будем говорить о плоском случае). Вопрос о характере такого пересечения нельзя считать выясненным. Если ударная полна заканчивается в точке пересечения, то в самой этой точке ее интенсивность обращается в нуль, а во всей плоскости вблизи точки пересечения движение околозвуковое. Картина течения в таком случае должна описы- ваться соответствующим решением уравнения Эйлера-Трикоми. Помимо общих условий однозначности решения в физической плоскости и граничных условий на ударной волне, должны вы- полняться еще и следующие условия: 1) если по обе стороны от ударной волны движение сверхзвуковое (так будет, если в точке пересечения кончается только ударная волна, «упираясь» в зву- ковую линию), то ударная волна должна быть «приходящей» по отношению к точке пересечения; 2) «приходящие» к точке пере- сечения характеристические линии в сверхзвуковой области не должны нести на себе никаких особенностей течения (особенно- сти могли бы возникнуть лишь в результате самого пересечения и, таким образом, должны были бы уноситься от точки пере- *) Для ударных волн, возникающих при осесимметричном обтекании тон- ких заостренных тел могут быть определены также и количественные коэф- фициенты в этих законах — см. примеч. на с. 642. 640 ОБТЕКАНИЕ КОНЕЧНЫХ ТЕЛ ГЛ. XIII сечения). Существование решения уравнения Эйлера-Трикоми, удовлетворяющего всем этим требованиям, по-видимому, еще не доказано :). Другая возможность для конфигурации ударной волны и зву- ковой линии в местной сверхзвуковой зоне состоит в окончании в точке пересечения одной лишь звуковой линии (рис. 128 б); в этой точке интенсивность ударной волны отнюдь не обращается в нуль, так что течение вблизи нее является околозвуковым лишь по одну сторону от ударной волны. Сама ударная волна может при этом одним концом «упираться» в твердую поверхность, а другим (или обоими) начинаться непосредственно в сверхзвуко- вом потоке (ср. конец § 115).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Образование ударных волн при сверхзвуковом обтекании тел» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
