Перейдем к рассмо- трению другого случая — отражения слабого разрыва от звуко- вой линии в виде ударной волны (Л.П. Горькое, Л.П. Питпаев- ский, 1962) х) . Этот случай возникает, если произведение АВ < 0. Из A21.6) видно, что в этом случае имеется две предельные линии, экспо- ненциально близкие к характеристике Ob: якобиан А обращается в нуль при Заранее очевидно, что экспоненциально близкими к характери- стике будут и границы нефизической области на плоскости го- ) Принципиальная возможность такого отражения отмечалась ранее Гу- дерлеем (K.G. Guderley, 1948). 634 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII дографа (О&2 и ОЬз на рис. 126 а), и тем самым будет экспонен- циально мала интенсивность ударной волны. Пренебрегая экспоненциально малыми значениями ? на ли- ниях О62 и О6з, мы получим для координат ж, у на них те же выражения, которые мы имели на двух сторонах характеристи- ки Ob в предыдущем случае. Поэтому условие непрерывности координат на ударной волне во всяком случае приводит к преж- нему соотношению A21.5). Соответственно, остается прежним и выражение A21.13) для скачка производной от скорости на падающем разрыве. Снова приняв, что этому разрыву отвечает верхняя характеристика Оа на плоскости годографа, будем по- прежнему иметь А > 0, так что теперь В < 0. Из A21.13) видно, следовательно, что физическим критерием происхождения двух случаев отражения слабого разрыва является знак скачка про- изводной скорости на падающем разрыве. Остаются прежними (при пренебрежении экспоненциально малыми поправками) уравнения A21.9),A21.10) линий падающе- го (слабого) и отраженного (ударной волны) разрывов. Но ввиду другого знака постоянной В меняется расположение этих линий на физической плоскости — как это показано на рис. 126 б. У —1- /2\\ Слабый разрыв / |3 ^ Звуковая линия ' °2>з Ударная волна Рис. 126 Для определения интенсивности ударной волны (т. е. скач- ков величин S6 и Sr] на ней) надо обратиться к полной системе граничных условий, которым должно удовлетворять на ударной волне решение уравнения Эйлера-Трикоми. Они были сформу- лированы уже в § 120: условия A20.9)-A20.11). Из них послед- нее, уравнение ударной поляры, принимает вид E6J = г/(Eг/J, где 86 = въ2 — Оьз5 Stj = т\ь2 —Щз —экспоненциально малые скачки величин на ударной волне (индексы 62 и 63 относятся к линиям О62 и ОЪз на плоскости годографа, т. е. соответственно к перед- ней и задней сторонам ударной волны на физической плоскости). Отсюда A21.16) § 121 ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 635 выбор знака при извлечении корня определяется тем, что од- новременно с уменьшением скорости газа при его прохождении через ударную волну должно происходить приближение линий тока к поверхности разрыва. В соответствии с A21.15) ищем уравнения линий О&2 и ОЬз в плоскости годографа в виде в + V/2 = аЬ2\в\е-&, в + V2 = -аьз\в\е-&, где a\/i и а^з—положительные числа. Согласно A21.16) б@ + -7/3/2 j = 86 + ^/rjSr] = 286. Искомые скачки 86 и 8г) да- ются поэтому следующими выражениями: в-^ A21.17) А7/6 ' |в|Ж1/б' где а = (а^2 + а^з)/2; переменные г/, б выражены через координа- ты на физической плоскости согласно х « — АО, у « — Аг/. Опре- деление коэффициента а требует учета также и всех остальных граничных условий, причем в них должны учитываться члены как линейные, так и квадратичные по экспоненциально малой величине ехр (—в). Не приводя этих довольно громоздких вы- числений, укажем лишь их результат: а^ = а&з = а = 5,2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Отражение в виде ударной волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
