Рассмотрим снача- ла первый из этих случаев {Л.Д. Ландау, Е.М. Лифши% 1954). Отраженному от звуковой линии слабому разрыву соответствует в плоскости годографа вторая характеристика {Ob на рис. 125 а). Вид функции Ф вблизи этой характеристики устанавливается пу- тем аналитического продолжения функций A21.2) согласно фор- мулам A18.11)—A18.13). Однако при к = 11/12 функция F\ те- ряет смысл и поэтому непосредственно воспользоваться этими формулами нельзя. Вместо этого надо положить в них сначала к = 11/12 + 6, после чего устремить е к нулю. В соответствии с общей теорией гипергеометрического уравнения при этом появ- ляются логарифмические члены. В результате вычисления (с помощью A18.13)) для функции Ф вблизи характеристики Ob в области 3 получается следующее выражение (с точностью до членов второго порядка по ? вклю- чительно) : = -Авг, + ?(-в)п'6{?2 In |d + со + ci? + Ы2}, A21.3) 7Г § 121 ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 631 где со, ci, C2 — числовые постоянные . Аналогичное преобразо- вание (с помощью A18.11)) функции Фа2 от окрестности характе- ристики Оа к окрестности характеристики Ob дает функцию Ф^2, отличающуюся от A21.3) лишь заменой В на G/2. Координаты ж, у точек характеристики в физической плоскости вычисляют- ся как производные A18.4), взятые при ? = 0. Так, исходя из A21.3), найдем A21-4) а дифференцирование функции Ф^2 даст такие же выражения с С/2 вместо В. Условие непрерывности координат ж, у на ха- рактеристике Ob приводит, следовательно, к соотношению С = 2В. A21.5) Далее, для осуществления рассматриваемой картины отраже- ния должны отсутствовать предельные линии в плоскости годо- графа (и тем самым — нефизические области в этой плоскости), т. е. якобиан А нигде не должен проходить через нуль. Вбли- зи характеристики Оа якобиан вычисляется с помощью функ- ций A21.2) и оказывается положительным (главный член в нем: А ~ А2). Вблизи же характеристики Ob вычисление с помощью A21.3) дает А « А2 - 16(-) ^АБг/1/4 In |f |. A21.6) При приближении к характеристике логарифм стремится к — оо, и главным является второй член. Поэтому из условия А > 0 имеем АВ > 0, т. е. А и В должны иметь одинаковый знак. Наконец, для определения формы звуковой линии нам пона- добятся выражения для Ф вблизи оси т\ = 0. Выражение, при- годное в окрестности верхней части этой оси, получается просто преобразованием гипергеометрической функции в Ф A21.2) в ги- пергеометрические функции аргумента 1 — f = 4г/3/(9б2), обра- щающегося в нуль при т\ = 0 2) . Сохранив лишь члены наиболее Значение этих постоянных: со = -29 • 34/385 = -108, а = 288/7 = 41,1, с2 = 4,86. ) Это преобразование приведено, например, в т. Ill, § e Математического дополнения, формула (е.7). 632 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII низких степеней по г/, получим И/6 = _Ат]0 _ ГB3/12)ГA7/12) A21.7) Аналитическое же продолжение в область нижней части оси дает фс = -Аф - 6,25 • л/3 В0п/6 A21.8) (вычисления аналогичны выводу формулы преобразования A18.13)). Теперь можно определить форму всех интересующих нас ли- ний. На характеристиках имеем, отбрасывая члены более высо- кого порядка: х = — АО, у = —Arj. Мы условились считать, что приходящему слабому разрыву отвечает верхняя характеристика @ > 0). Поскольку скорость газа направлена в положительном направлении оси ж, то этот разрыв, для того чтобы быть прихо- дящим, должен лежать в полуплоскости х < 0. Отсюда следует, что постоянная А, а с нею и В должны быть положительными. Уравнение линии слабого разрыва в физической плоскости будет 2/V = l,ZlAx'z{-xJl\ A21.9) -у = g Отраженный же разрыв, соответствующий нижней характери- стике, дается уравнением х) -у = l^lA1/3^2/3 A21.10) (см. рис. 125 б] обозначение линий и областей на этом рисунке соответствует обозначениям на рис. 125 а). Уравнение звуковой линии получается из функций A21.7), A21.8). Дифференцируя по г/ и 0 и положив затем г/ = 0, получим из A21.7) уравнение той части линии, на которой 0 > 0: 11 х = —/it/, у = - откуда х = -А0, у = -—. 6,25Б6>5/6, ' у 16 ' у = -11,4БА/6(-жM/6. A21.11) Это —нижняя часть звуковой линии на рис. 125 б. Аналогичным образом из A21.8) находим уравнение верхней части этой линии: у = П,4\/ЗБА-5/6ж5/6. A21.12) 1) С учетом первых поправочных членов (вторые члены в формулах A21.4)) уравнение отраженного разрыва: -у = 1,31А1/Зж2/3 - 10,5БА/6ж5/6. A21.10а) § 121 ОТРАЖЕНИЕ СЛАБОГО РАЗРЫВА ОТ ЗВУКОВОЙ ЛИНИИ 633 Таким образом, оба слабых разрыва и обе ветви звуковой ли- нии имеют в точке пересечения О общую касательную (ось у), причем две ветви звуковой линии лежат по разные стороны оси у. На приходящем разрыве испытывают скачок производные от скорости по координатам. В качестве характерной величины рас- смотрим скачок производной (дт]/дх)у. Имея в виду, что _ d(ri, у) _ d(ri, у) /д(х, у) _ 1 д2Ф у д(х, у) d(ri, 0I d(ri, в) А дв2 и воспользовавшись формулами A21.2), A21.5), получим для ис- комого скачка: I) A21-13) При приближении к точке пересечения он растет как (—у) 1'4. На отраженном же слабом разрыве производные скорости во- обще не испытывают скачка, но распределение скоростей имеет своеобразную логарифмическую особенность. Вычислив из функ- ции A21.3) (сохранив в ней лишь первый член в скобках) ко- ординаты ж и у в функции от г/, #, можно представить зависи- мость г] от х при заданном у вблизи отраженного разрыва в сле- дующем параметрическом виде: А 2^\ -- A21Л4) X — Xq = где ( играет роль параметра, a xq = xq (у) —уравнение линии разрыва в физической плоскости.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Отражение в виде слабого разрыва» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Аналогичное преобразо- 