Решения уравнения Эйлера—Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности
Выясним теперь, какие решения Ф& соответствуют тем случа- ям, когда в окрестности границы перехода течение газа не обла- дает никакими физическими особенностями (нет слабых разры- вов или ударных волн). Для этого, однако, удобнее исходить не непосредственно из уравнения Эйлера-Трикоми, а из урав- нения для потенциала скорости в физической плоскости. Та- кое уравнение было выведено в § 114; для плоского движения уравнение A14.10) после введения новой координаты согласно х —>> хBа*I/3 принимает вид Напомним, что потенциал ср определен здесь таким образом, что его производные по координатам дают скорость согласно равен- ствам ох ду Заметим также, что уравнение Эйлера-Трикоми можно полу- чить и непосредственно из уравнения A19.1), переходя к незави- симым переменным #, т\ с помощью преобразования Лежандра, причем будет Ф = — (р + хт\ + ув, или у = -Ф + г,м+е™ (П9.3) дц дв Выбрав начало координат ж, у в точке звуковой линии, ок- рестность которой мы исследуем, разложим ср по степеням х и у. В общем случае первый член разложения, удовлетворяющего уравнению A19.1), есть ср = -ху. A19.4) а § 119 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ 619 При этом в = ж/а, г/ = у/а, так что Ф = авт]. A19.5) По степени однородности этой функции ясно, что ему соответ- ствует одна из функций Ф5/65 эт0 есть второй член выражения A18.7), в котором гипергеометрическая функция с к = 5/6 сво- дится просто к 1: 2' ' 3' 9(92, Если мы хотим найти уравнение звуковой линии в физиче- ской плоскости, то написанный первый член разложения недо- статочен. Следующий член разложения Ф имеет степень одно- родности 1, т. е. соответствует одной из функций Ф]_; это есть первый член выражения A18.7), сводящийся при к = 1 к поли- ному: V ' ~2' 3' 90V ~ + ~3~* Таким образом, первые два члена разложения Ф: Отсюда х = ав + Ьг]2, у = аг] + 2Ьв. A19.7) Звуковая линия (г/ = 0) есть прямая у = 2Ьх/а. Для нахождения же уравнения характеристик в физической плоскости достаточен первый член разложения. Подставляя в = х/а, п = у/а в уравнение годографи- _ 1 ' ' и/ Jt^ Г) ^ ^ Линия тока ческих характеристик в = =Ь2г/ ' /3, по- лучим V Характеристика )• A19.6) т. е. снова две ветви полукубической пара- болы с точкой возврата на звуковой линии (жирная кривая на рис. 120). Это свойство характеристик заранее очевидно из следующих простых сообра- жений. В точках линии перехода угол Ма- ха равен тг/2. Это значит, что касательные рис -^о к характеристикам обоих семейств совпа- дают, что и означает наличие здесь точки возврата (рис. 120). Линии же тока пересекают звуковую линию перпендикулярно к характеристикам, не имея здесь особенностей. 620 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII Решение A19.6) неприменимо в том исключительном случае, когда линия тока перпендикулярна к звуковой линии в рассма- триваемой точке . Вблизи такой точки течение, очевидно, сим- метрично относительно оси х. Этот случай требует особого рас- смотрения (Ф.И. Франкль и СВ. Фалъкович, 1945). Симметрия течения означает, что при изменении знака у ско- рость vy меняет знак, a vx остается неизменной. Другими сло- вами, потенциал ср должен быть четной функцией у (а потен- циал Ф — четной функцией в). Первые члены разложения ср бу- дут поэтому в этом случае иметь следующий вид: ^ 2 2 24 v J (относительный порядок малости ж и у не предопределен, так что все три написанных члена могут быть одинакового порядка). Отсюда находим следующие формулы преобразования из физи- ческой плоскости в плоскость годографа: v = ах + ^, в = а2ху + ^. A19.9) 2 6 Уже не решая этих уравнений относительно х л у в явном виде, легко видеть, что степень однородности функции у@, г/) равна 1/6. Поэтому соответствующая функция Ф имеет к = 1/6 + 1/2 = = 2/3, т. е. заключена в общем интеграле <1>2/з- Исключив из уравнений A19.9) ж, получим для определения функции уF, г/) кубическое уравнение (ayf - Зщу + 36 = 0. A19.10) При в2 — 4г/3/9 > 0, т. е. во всей области слева от годографиче- ских характеристик, проходящих через точку т\ = в = 0 (в том числе во всей дозвуковой области, г/ < 0; рис. 121), это уравнение имеет всего один вещественный корень, который и должен быть взят в качестве функции уF, г/). В области же справа от характе- ристик вещественны все три корня; из них должен быть взят тот, который является продолжением вещественного в левой области корня. Характеристики в физической плоскости (проходящие через начало координат) получаются подстановкой выражений A19.9) в уравнение 4г/3 = 9в2. Это дает две параболы: характеристики 23 и 56 : х = —ау2/4, характеристики 34 и 45 : х = ау /2 Г) lJ-J.ty.J-J.) /2 В решении A19.6) этому соответствовало бы равенство нулю постоянной а; но при а = 0 это решение теряет смысл, так как на линии г\ = 0 обращается в нуль якобиан А. § П9 РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ЭЙЛЕРА-ТРИКОМИ 621 (цифры указывают, какие две области в физической плоскости разделяет данная характеристика). Звуковая же линия (г/ = О в плоскости годографа) в физической плоскости есть парабола х = —ау2/2 (жирная кривая на рис. 121). Отметим следующую особенность точки пересечения звуковой линии с осью симмет- рии: из этой точки исходят четыре ветви характеристик, между тем как из всякой другой точки звуковой линии —всего две. Рис. 121 На рис. 121 одинаковыми цифрами отмечены соответствую- щие друг другу области плоскости годографа и физической плос- кости. Это соответствие — не взаимно однозначное х) ; при пол- ном обходе вокруг начала координат в физической плоскости область между двумя характеристиками в плоскости годогра- фа проходится трижды, как это указано штриховой линией на рис. 121, дважды отражающейся от характеристик. Поскольку функция уF, г]) сама удовлетворяет уравнению Эйлера-Трикоми, то она должна содержаться в общем интеграле <&i/q. Вблизи характеристики 23 в физической плоскости это есть У а\2 ) V3 /_1 1 1 4^4 V б' 3' 2' 9в2) A19.12) (первый член выражения A18.6), не имеющий особенности на ха- рактеристике). Производя ее аналитическое продолжение в окрестность характеристики 56 (по пути, проходящему через до- звуковую область i, т. е. с помощью формул A18.13)), мы по- лучим там такую же функцию. Вблизи же характеристик 34 ) В соответствии с тем, что на характеристике х = ау /2 в физической плоскости имеем А = оо (см. примеч. на с. 607). 622 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII и 45 у@, г]) представится линейными комбинациями этой функ- ции и функции -^-) A19.13) 9<92 / v J (второй член выражения A18.6)); эти комбинации получаются путем аналитического продолжения с помощью формул A18.11) (причем надо иметь в виду, что при каждом отражении от го- дографической характеристики квадратный корень в функции A19.13) меняет знак). С математической точки зрения полученные результаты по- казывают, что функции <&i/q являются линейными комбинация- ми корней кубического уравнения 36> = 0, A19.14) т. е. сводятся к алгебраическим функциям . Вместе с Фх/6 сво- дятся к алгебраическим функциям также и все Ф& с к = -±-, гс = 0, 1, 2, ... , A19.15) и ? получающиеся согласно формулам A18.9) и A18.10) из Фх/6 путем последовательных дифференцирований (Ф.И. Франклъ, 1947). К алгебраическим функциям сводятся также те функции Ф& с fc = ±|, ^ = i±|, A19.16) в которых гипергеометрическая функция сводится к полиному 2) (так, при к = п/2 это есть первый член, а при к = —п/2 — второй член выражения A18.6)). К этим трем семействам алгебраических функций Ф& отно- сятся, в частности, все те функции, которые могут соответство- вать (в качестве потенциала Ф) течениям, не имеющим ника- ких особенностей в физической плоскости. Именно, для таких течений все члены разложения Ф вблизи несимметричной точ- ки линии перехода (первые два члена которого даются форму- лой A19.6)) могут иметь лишь к = 5/6 + п/2 или к = 1 + п/2. Разложение же Ф вблизи симметричной точки (начинающееся членом с к = 2/3) может, кроме того, содержать еще функции с к = 2/3 +п/2.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Решения уравнения Эйлера—Трикоми вблизи неособых точек звуковой поверхности» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Вблизи такой точки течение, очевидно, сим- 