Некоторые общие свойства характеристик плоского стацио- нарного (сверхзвукового) движения были рассмотрены уже в § 82. Выведем теперь уравнения, определяющие эти линии по заданному решению уравнений движения. В плоском стационарном сверхзвуковом потоке имеется в об- щем случае три семейства характеристик. По двум из них (ко- торые мы будем называть характеристиками G+ и G_) распро- страняются все малые возмущения, за исключением лишь воз- мущений энтропии и ротора скорости; последние распространя- ются по характеристикам третьего семейства Со, совпадающим с линиями тока. Для заданного течения линии тока известны, и вопрос заключается в определении характеристик первых двух семейств. Направления проходящих через каждую точку плоскости ха- рактеристик G+ и С- расположены по обе стороны от проходя- щей через ту же точку линии тока и образуют с ней угол, равный местному значению угла возмущений а (см. рис. 51). Обозначим через ттт-о тангенс угла наклона к оси (угловой коэффициент) ли- нии тока в данной ее точке, а через т+ и т_ —угловые коэф- фициенты характеристик G+ и G_. Тогда по формуле сложения тангенсов напишем: т+ — то , гп- — то , = tg« = -tga, 1 + тот+ 1 + откуда т±= 1 =F mo tga См., например, Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродина- мики.— М.: Наука, 1966, гл. X; Мизес Р. Математическая теория течений сжимаемой жидкости. — М.: ИЛ, 1961, § 20. 20 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 610 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII (верхние знаки относятся везде к С+, а нижние —к С_). Подста- вив сюда и произведя сокращения, получим следующее выражение для уг- ловых коэффициентов характеристик: ) _ dx J ± v2 — с2 Если распределение скоростей в потоке известно, то это есть дифференциальное уравнение, определяющее характеристики С+ иС.1). Наряду с характеристиками в плоскости ху можно рассма- тривать также и характеристики в плоскости годографа, в осо- бенности полезные при изучении изэнтропического потенциаль- ного течения, о котором мы и будем ниже говорить. С математи- ческой точки зрения это — характеристики уравнения Чаплыги- на A16.8) (принадлежащего при v > с к гиперболическому типу). Следуя известному из математической физики общему методу (см. § 103), с помощью коэффициентов этого уравнения состав- ляем уравнение характеристик: 224=о, 1 - V2/С2 или dv ) ± v У с2 Определяемые этим уравнением характеристики не зависят от конкретного решения уравнения Чаплыгина, что связано с неза- висимостью коэффициентов последнего от Ф. Характеристики в плоскости годографа, являющиеся отображением характеристик С+ и С- в физической плоскости, мы будем условно называть соответственно характеристиками Г+ и Г_ (знаки в A17.2) соот- ветствуют этому условию). Интегрирование уравнения A17.2) дает соотношения вида J+(v, в) = const, J-(v, в) = const. Функции J+ и J_ представ- ляют собой величины, остающиеся постоянными соответственно вдоль характеристик G+ и С- (инварианты Римана). Для поли- Уравнение A17.1) определяет характеристики и для стационарного осе- симметрического течения, если только заменить vy и у на vr иг, где г — цилиндрическая координата (расстояние от оси симметрии — оси ж); ясно, что весь вывод не изменится, если вместо плоскости ху рассматривать про- ходящую через ось симметрии плоскость хг. § П7 ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКОГО СТАЦИОНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ 611 тропного газа уравнение A17.2) может быть проинтегрировано в явном виде. Нет, однако, необходимости производить эти вы- числения заново, так как результат может быть написан заранее с помощью формул A15.3), A15.4). Действительно, согласно об- щим свойствам простых волн (см. § 104) зависимость v от в в простой волне как раз и определяется условием постоянства во всем пространстве одного из инвариантов Римана. Произвольной постоянной в формулах A15.3) и A15.4) является <р*; исключая из этих формул параметр <р, получим ^=»4™"\/?FI) arcsin . A17.3) Характеристики в плоскости годографа представляют собой се- мейство эпициклоид, заполняющих пространство между двумя окружностями радиусов (рис. 117): v = с* и v = Для изэнтропического потенциального движения характеристики Г+ и Г_ обла- дают следующим важным свойством: семей- ства характеристик Г+ и Г_ ортогональны соответственно характеристикам С_ и С+ (предполагается, что оси координат ж, у изо- бражены параллельными осям vXl vy) x) . Для доказательства этого утверждения исходим из уравне- ния A14.3) для потенциала плоского течения, имеющего вид Рис. 117 дх2 дх ду ду2 A17.4) (существенно, что в нем отсутствует свободный член). Угловые коэффициенты т± характеристик С± определяются как корни квадратного уравнения Am2 - 2Вт + С = 0. Рассмотрим выражение dv? dx~ + dv+ dy~, в котором диф- ференциалы скорости берутся вдоль характеристики Г+, а ) Это утверждение не относится к характеристикам осесимметрического движения в плоскости хг\ 20* 612 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII дифференциалы координат — вдоль С_. Имеем тождественно: dv? dx~ + dv? dy~ = = ^dx+dx~ + -p?-(dx+dy- + dx~dy+) + ^dy+dy-. ox2 ox oy oy2 Разделив это выражение на dx+ dx~, получим в качестве коэф- фициентов при д2(р/дх ду и д2(р/ду2 соответственно т+ +га_ = = 2В/А и т+т- = С/А, после чего ясно, что в силу уравнения A17.4) выражение обращается в нуль. Таким образом, dv? dx~ + dv^ dy~ = rfv+ dr~ = 0. Аналогично получим dv~ dr+ = 0. Эти равенства и выражают собой сделанное выше утверждение.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Характеристики плоского стационарного течения» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
См., например, Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродина- 