Определим общий вид решений уравнений стационарного плоского сверхзвукового движения газа, описывающих течения, при которых на бесконечности имеется однородный плоскопа- раллельный поток, в дальнейшем своем течении поворачиваю- щий, обтекая искривленный профиль. С частным случаем та- кого решения нам уже приходилось иметь дело при изучении движения вблизи угла, — при этом мы по существу рассматрива- ли плоскопараллельный поток, текущий вдоль одной из сторон угла и поворачивающий вокруг края этого угла. В этом част- ном решении все величины — две компоненты скорости, давле- ние, плотность — были функциями всего лишь одной перемен- ной— угла ср. Поэтому каждая из этих величин могла бы быть выражена в виде функции одной из них. Поскольку это решение должно содержаться в виде частного случая в искомом общем решении, то естественно искать это последнее, исходя из требо- вания, чтобы и в нем каждая из величин р, /э, vXi vy (плоскость движения выбираем в качестве плоскости ху) могла быть вы- ражена в виде функции одной из них. Такое требование пред- ставляет собой, конечно, весьма существенное ограничение, на- лагаемое на решение уравнений движения, и получающееся та- ким образом решение отнюдь не является общим интегралом этих уравнений. В общем случае каждая из величин р, р, vXi vyi являющихся функцией двух координат ж, у, могла бы быть вы- ражена лишь через две из них. Поскольку на бесконечности имеется однородный поток, в ко- тором все величины, в частности и энтропия «s, постоянны, а при стационарном движении идеальной жидкости энтропия сохра- няется вдоль линий тока, то ясно, что и во всем пространстве 600 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII будет s = const, если только в газе нет ударных волн, что и предполагается ниже. Уравнения Эйлера и уравнение непрерывности имеют вид dvx dvx _ 1 dp dvy dvy _ 1 dp # dx dy p <9ж' dx dy p dy1 d \ d — (Pvx) + —\Pvv) = 0- dx dy Написав частные производные в виде якобианов, перепишем эти уравнения в виде х d(x, у) у d(x, у) р d(x, у)' uyUy, у) uyUy, х^ i uyp^ лj x d(x,y) y d(x,y) pd(x,yy d(pvx, ?/) d(pvy, ж) ^ d(x, у) d(x, у) Выберем теперь в качестве независимых переменных х пр. Для того чтобы произвести соответствующее преобразование, доста- точно умножить написанные уравнения на д(х, у)/д(х, _р), в ре- зультате чего получим уравнения в точности того же вида, с той лишь разницей, что в знаменателях всех якобианов будет стоять д(х, р) вместо д(х, у). Раскроем эти якобианы; при этом надо иметь в виду, что в независимых переменных х и р все величи- ны р, vXi vy являются, по предположению, функциями только от р, и потому их частные производные по х равны нулю. Тогда получаем vx 1 dy ( ду\ dvy 1 lp p dx V dx) dp p dy \ dp , / dvv dy dvx \ n Vy — Vx—)— + p[ —- — —^ —- = 0 dx J dp \ dp dx dp J (где ду/дх обозначает (ду/дх)р). Все величины в этих уравне- ниях, за исключением лишь ду/дх, являются функциями только от р уже по сделанному предположению, а х вовсе не входит в уравнения явным образом. Поэтому прежде всего можно заклю- чить на основании этих уравнений, что и ду/дх есть некоторая функция только от р: откуда У = я/1(р) + /2(р), где /2Q?)—произвольная функция давления. § 115 СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 601 Дальнейших вычислений можно не производить вовсе, если непосредственно воспользоваться известным уже нам частным решением для волны разрежения при обтекании угла (§ 109, 112). Напомним, что в этом решении все величины (в том числе и дав- ление) постоянны вдоль каждой прямой (характеристики), про- ходящей через вершину угла. Это частное решение, очевидно, соответствует случаю, когда в общем выражении A15.1) произ- вольная функция /2B?) тождественно равна нулю. Функция же flip) определяется полученными в § 109 формулами. Уравнение A15.1) при постоянных значениях р определяет семейство прямых линий в плоскости ху. Эти прямые пересека- ют в каждой своей точке линии тока под углом Маха. Это оче- видно из того, что таким свойством обладают прямые у = xfiip) в частном решении с /2 = 0. Таким образом, и в общем случае одно из семейств характеристик (характеристики, «исходящие» от поверхности тела) представляет собой прямые лучи, вдоль ко- торых все величины остаются постоянными; эти прямые, однако, не имеют теперь общей точки пересечения. Изложенные свойства рассматриваемого движения в мате- матическом отношении полностью аналогичны свойствам одно- мерных простых волн, у которых одно из семейств характери- стик представляет собой семейство прямых линий в плоскости xt (см. § 101, 103, 104). Поэтому рассматриваемый класс течений играет в теории стационарного плоского (сверхзвукового) дви- жения такую же роль, какую играют простые волны в теории нестационарного одномерного движения. Ввиду этой аналогии эти течения тоже называют простыми волнами. В частности, волну разрежения, соответствующую случаю /2 = 0, называют центрированной простой волной. Как и в нестационарном случае, одно из важнейших свойств стационарных простых волн заключается в том, что течение во всякой области плоскости ху, граничащей с областью однород- ного потока, есть простая волна (ср. § 104). Покажем теперь, каким образом может быть построена про- стая волна для обтекания заданного профиля. На рис. 115 изображен обтекаемый профиль; слева от точ- ки О он прямолинеен, далее от точки О начинается закругле- ние. В сверхзвуковом потоке влияние закругления распростра- няется, разумеется, лишь на область потока вниз по течению от исходящей из точки О характеристики О А. Поэтому все те- чение слева от этой характеристики будет представлять собой однородный поток (относящиеся к нему значения величин от- личаем индексом 1). Все характеристики в этой области парал- лельны друг другу и наклонены к оси х под углом Маха oti = = arcsin i/) 602 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII В формулах A09.12)—A09.15) угол наклона характеристик ср отсчитывается от луча, на котором v = с = с*. Это значит (ср. § 112), что характеристике О А надо ,у\ приписать значение угла <р, равное .п. А. arccos —, с* и в дальнейшем отсчитывать углы ср для всех характеристик от направле- ния О А' (рис. 115). Угол наклона ха- рактеристик к оси х будет тогда равен ip* — ip, где (р* = а\ + (р\. Согласно фор- мулам A09.12)—A09.15) скорость и дав- ление выразятся через угол ср с помощью следующих соотно- шений: Рис. 115 vx = v cos 6, vy = v sin 6, = cp* — cp — arctg Уравнение же характеристик напишется в виде y = xtg(<p*-<p)+F(<p). A15.2) A15.3) A15.4) A15.5) A15.6) Произвольная функция F((p) определится по заданной форме профиля следующим образом. Пусть форма профиля задана урав- нением Y = Y(X), где X и У— координаты его точек. На самой поверхности скорость газа направлена по касательной к ней, т. е. 5 ~ dX' A15.7) Уравнение прямой, проходящей через точку X, Y и наклоненной под углом (р* — (р к оси ж, есть Это уравнение совпадает с A15.6), если в последнем положить F(ip)=Y-Xtg(ip,-ip). A15.8) § 115 СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 603 Исходя из заданного уравнения Y = Y(X) и уравнения A15.7), представляем форму профиля в виде параметрических уравне- ний X = Х@), Y = Y@), где параметром является угол 0 на- клона касательной к профилю. Подставляя сюда #, выраженное через if согласно A15.4), получаем X и Y в виде функций от <р; наконец, подставляя их в A15.8), получим искомую функцию F(cp). При обтекании выпуклой поверхности угол 0 наклона вектора скорости к оси х уменьшается вниз по течению (рис. 115). Вместе с ним монотонно убывает также и угол ср* — ср наклона характе- ристик (речь идет везде о характеристиках, исходящих от тела). Благодаря этому характеристики нигде (в области течения) не пересекаются друг с другом. Таким образом, в области вниз по течению от характеристики О А, которая будет представлять со- бой слабый разрыв, мы будем иметь непрерывный (без ударных волн) монотонно разрежающийся поток. Иначе обстоит дело при обтекании вогнутого профиля. Здесь наклон 0 касательной к профилю, а с ним и наклон характери- стик возрастают в направлении течения. В результате характе- ристики пересекаются друг с другом (в области течения). Но на различных не параллельных друг другу характеристиках все ве- личины (скорость, давление и т. п.) имеют различные значения. Поэтому в точках пересечения характеристик все эти функции оказываются многозначными, что физически нелепо. Аналогич- ное явление мы имели уже в нестационарной одномерной про- стой волне сжатия (§ 101). Как и там, оно означает здесь, что в действительности возникает ударная волна. Положение этого разрыва не может быть определено полностью из рассматривае- мого решения, выведенного в предположении его отсутствия. Единственное, что может быть определе- но,— это место начала ударной волны (точ- ка О на рис. 116; ударная волна изображе- на сплошной линией О В). Она определяется как точка пересечения характеристик, лежа- щая на наиболее близкой к поверхности те- ла линии тока. На линиях тока, проходящих под точкой О (ближе к телу), решение вез- де однозначно; в точке же О начинается его многозначность. Уравнения, определяющие Рис. 116 координаты жо, У о этой точки, могут быть получены аналогично тому, как были найдены соответствующие уравнения для определения момента и места образования разры- ва в одномерной нестационарной простой волне. Если рассмат- ривать угол наклона характеристик как функцию координат х и у точек, через которые они проходят, то при значениях ж и у, превышающих некоторые определенные жо, Уо? эта функция де- лается многозначной. В 8 101 мы имели аналогичное положение 604 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII для функции г;(ж, ?); поэтому, не повторяя заново всех рассужде- ний, напишем сразу уравнения 0-°- @1 = °- определяющие здесь место начала ударной волны. В математиче- ском отношении это — угловая точка огибающей семейства пря- молинейных характеристик (ср. § 103). Что касается области существования простой волны при об- текании вогнутого профиля, то вдоль линий тока, проходящих над точкой О, оно применимо вплоть до места пересечения этих линий с ударной волной. Линии же тока, проходящие под точ- кой О, с ударной волной вообще не пересекаются. Однако от- сюда нельзя сделать заключение о том, что вдоль них рассма- триваемое решение применимо везде. Дело в том, что возни- кающая ударная волна оказывает возмущающее влияние и на газ, текущий вдоль этих линий тока, и таким образом наруша- ет движение, которое должно было бы иметь место в ее отсут- ствии. В силу свойства сверхзвукового потока эти возмущения будут, однако, проникать лишь в область газа, находящуюся вниз по течению от характеристики О А, исходящей из точки нача- ла ударной волны (одна из характеристик второго семейства). Таким образом, рассматриваемое здесь решение будет приме- нимым во всей области слева от линии АО В. Что касается са- мой линии О А, то она будет представлять собой слабый разрыв. Мы видим, что непрерывная (без ударных волн) во всей области простая волна сжатия вдоль вогнутой поверхности, аналогичная простой волне разрежения вдоль выпуклой поверхности, невоз- можна. В ударной волне, возникающей при обтекании вогнутого про- филя, мы имеем пример волны, «начинающейся» от некоторой точки, расположенной в самом потоке вдали от твердых стенок. Такая точка «начала» ударной волны обладает некоторыми об- щими свойствами, которые мы здесь отметим. В самой точке на- чала интенсивность ударной волны обращается в нуль, а вбли- зи нее мала. Но в ударной волне слабой интенсивности скачок энтропии и ротора скорости — величины третьего порядка мало- сти, и потому изменение течения при прохождении через волну отличается от непрерывного потенциального изэнтропического изменения лишь в величинах третьего порядка. Отсюда следует, что в отходящих от точки начала ударной волны слабых раз- рывах должны испытывать скачок лишь производные третьего порядка от различных величин. Таких разрывов будет, вообще говоря, два: слабый разрыв, совпадающий с характеристикой, и тангенциальный слабый разрыв, совпадающий с линией тока (см. конец § 96).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Стационарные простые волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
