Мы встретимся в дальнейшем с многочисленными важны- ми случаями, когда движение сжимаемого газа можно рассма- тривать как потенциальное практически во всем пространстве. Здесь мы выведем общие уравнения потенциального течения и рассмотрим в общем виде вопрос об их применимости . Потенциальность течения сжимаемого газа нарушается, во- обще говоря, ударными волнами; после прохождения через удар- ную волну потенциальный поток становится в общем случае вих- ревым. Исключение представляют, однако, случаи, когда ста- ционарный потенциальный поток проходит через ударную волну постоянной (вдоль всей ее поверхности) интенсивности; таковы, например, случаи, когда однородный поток проходит волну, пе- ресекающую все линии тока под одинаковым углом 2) . В та- ких случаях течение остается потенциальным и позади ударной волны. Для доказательства этого утверждения воспользуемся урав- нением Эйлера, написанным в виде -V?;2 - [v rotv] = --Vp (ср. B.10)), или V (w + —) - [v rot v] = TVs, где учтено термодинамическое соотношение dw = Т ds + dp/p. Но в потенциальном потоке перед ударной волной w + v2/2 = = const, а на ударной волне эта величина непрерывна; поэтому она останется постоянной и во всем пространстве позади ударной волны, так что будем иметь [vrotv] = -TVs. (П4.1) Потенциальный поток перед ударной волной изэнтропичен. В общем случае произвольной ударной волны с переменным х) В этом параграфе течение еще не предполагается плоским! ) С такими случаями мы уже встречались при изучении сверхзвукового обтекания клина и конуса (§ 112, 113). 596 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII вдоль ее поверхности скачком энтропии в пространстве за вол- ной градиент Vs 7^ 0, а вместе с ним будет отличен от нуля и rot v. Однако если ударная волна обладает постоянной интенсив- ностью, то и скачок энтропии в ней постоянен, так что течение за ней тоже будет изэнтропическим, т. е. Vs = 0. Отсюда следует, что либо rotv = 0, либо векторы rotv и v везде параллельны друг другу. Но последний случай невозможен: на самой ударной волне v во всяком случае имеет отличную от нуля нормальную компоненту, а нормальная компонента rotv равна нулю (нор- мальная компонента rot v определяется тангенциальными произ- водными от тангенциальных компонент скорости, непрерывных на поверхности разрыва). Другой важный случай, когда потенциальность течения мож- но считать не нарушающейся ударными волнами,—это случай волн малой интенсивности. Мы видели (§ 86), что в таких удар- ных волнах скачок энтропии есть величина третьего порядка по сравнению со скачком давления или скорости. Из соотношения A14.1) видно поэтому, что величиной третьего порядка будет и rotv за разрывом. Это и дает возможность считать, с точ- ностью до малых величин высших порядков, течение потенци- альным и позади ударной волны. Выведем общее уравнение для потенциала скорости при про- извольном стационарном потенциальном течении сжимаемого газа. Для этого исключаем плотность из уравнения непрерыв- ности div pw = р div v + vVр = 0 с помощью уравнения Эйлера () р р и получаем c2divv- (vV)v = 0. Вводя сюда потенциал согласно v = V<p и раскрывая векторные выражения, найдем искомое уравнение: (с2 - 4>y4>z4>yz) = 0 A14.2) (нижние индексы обозначают здесь частные производные). В частности, для плоского движения (с2 - 4>\)ч>хх + (с2 - Ч^)Ч>уу ~ ^Ч>хЧ>уЧ>ху = 0. A14.3) В этих уравнениях скорость звука сама должна быть выражена как функция скорости, что может быть, в принципе, сделано с помощью уравнения Бернулли w + v2 /2 = const и уравнения изэнтропичности s = const (для политропного газа зависимость с от v дается формулой (83.18)). § 114 ПОТЕНЦИАЛЬНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА 597 Уравнение A14.2) очень упрощается, если во всем простран- стве скорость газа лишь незначительно отличается по величине и направлению от скорости натекающего из бесконечности по- тока . Тем самым подразумевается и что ударные волны (если они вообще есть) обладают слабой интенсивностью, а потому не нарушают потенциальности течения. Выделим из v постоянную скорость натекающего потока vi, написав v = vi + v7, где v7 —малая величина. Вместо потен- циала if полной скорости, введем потенциал ip' скорости v7: v7 = Vip'. Уравнение для этого потенциала получится из A14.2) заменой ср = ip' + xv\ (ось х выбираем в направлении век- тора vi). Рассматривая после этого ip' как малую величину и опуская все члены выше первого порядка, получим следующее линейное уравнение: A-М?) ?? + ?? + ?? = 0, A14.4) v ' дх2 ду2 dz2 где Mi = vi/ci] для скорости звука здесь подставлено, естествен- но, ее заданное значение на бесконечности. Давление в любой точке потока определяется в этом же при- ближении через скорость по формуле, которую можно получить следующим образом. Рассматривая р как функцию w (при за- данном s) и учитывая, что (dw/dp)s = 1/р, запишем: Р~Р1~ (-^-) (w \ow / s Согласно же уравнению Бернулли имеем W-W1 = -"[(Vl+vJ-^] tt--{y*+Vl) -VlVx, так что ^{vl + v2z). A14.5) В этом выражении надо, вообще говоря, сохранить член с квад- ратами поперечной скорости, так как в области вблизи оси х (в частности, на самой поверхности обтекаемого газом тонкого те- ла) производные dip'/ду, dip'/dz могут стать большими по срав- нению с dip'/дх. Уравнение A14.4), однако, неприменимо, если число Mi очень близко к единице (околозвуковое движение), так что коэффици- ент в первом члене становится малым. Ясно, что в таком случае х) С таким случаем мы встретились уже в § 113 (обтекание тонкого конуса) и встретимся еще при изучении обтекания сжимаемым газом произвольных тонких тел. 598 ПЛОСКОЕ ТЕЧЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. XII в уравнении должны быть сохранены также и члены более высо- кого порядка по производным потенциала по координате х. Для вывода соответствующего уравнения снова вернемся к исходно- му уравнению A14.2), которое после пренебрежения заведомо малыми членами сводится к следующему: 4>zz = 0. (П4.6) В рассматриваемом случае скорость vx « v и скорость звука с близки к критической скорости с*. Поэтому можно написать: / ч dc с- с* = (г; - с*)—- dv или / \ (л dc \ с - v = (с* - г;) II - — V dv v=c*/ Воспользовавшись тем, что при v = с = с* согласно (83.4) имеем dp/dv = —р/с, пишем (при v = с*): dc _ dc dp _ р dc dv dp dv с dp так что c_w = (C|i_w)IE(??)=a,(C|i_w). (Ц4.7) с dp Мы воспользовались здесь для производной d(pc)/dp выраже- нием (99.9), а для а* —значением величины а A02.2) при v = с* (для политропного газа а есть просто постоянная, так что а* = = а = G + 1)/2). С той же точностью это равенство можно переписать в виде v--l = aJ^-l). A14.8) С \С* / Это соотношение устанавливает в общем виде связь между чис- лами М и М* в околозвуковом случае. С помощью этой формулы имеем с Наконец, вводим новый потенциал, производя замену так что теперь будет <^ = ^_1 <9<? = ^ <9^ = ^ A14 9) <9ж с* ду с* dz с* § 115 СТАЦИОНАРНЫЕ ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ 599 Внося все это в A14.6), получим окончательно следующее урав- нение для потенциала околозвукового течения (с направлением скорости, везде близким к оси х): 2a^ + . дх дх2 ду2 dz2 Свойства газа входят сюда только через постоянную а*. Мы уви- дим в дальнейшем, что зависимость всех вообще свойств около- звукового течения от конкретного рода газа целиком определя- ется этой постоянной. Линеаризованное уравнение A14.4) становится непримени- мым и в другом предельном случае —очень больших значений Mi, не говоря уже о том, что благодаря возникновению силь- ных ударных волн реальное течение при таких Mi фактически вообще нельзя считать потенциальным (см. § 127).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Потенциальное движение сжимаемого газа» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 