Плоская бегущая звуковая волна как точное решение урав- нений движения тоже представляет собой простую волну Мы можем воспользоваться полученными в предыдущем параграфе общими результатами для того, чтобы выяснить некоторые свой- ства звуковых волн малой амплитуды во втором приближении (понимая под первым приближением то, которое соответствует обычному линейному волновому уравнению). Прежде всего отметим, что по истечении достаточно долго- го времени в звуковой волне на протяжении каждого ее периода должен возникнуть разрыв. Этот эффект приведет затем к весь- ма сильному затуханию волны, как это было объяснено в § 101. Фактически это может относиться, разумеется, лишь к доста- точно сильному звуку; в противном случае звуковая волна успе- ет поглотиться благодаря обычному эффекту вязкости и тепло- проводности газа раньше, чем в ней успеют развиться эффекты высших порядков по амплитуде. Эффект искажения профиля волны проявляется и в другом отношении. Если в некоторый момент времени волна была чисто гармонической, то с течением времени соответственно измене- нию формы ее профиля она перестанет быть таковой. Движение, однако, останется периодическим с прежним периодом. В разло- жение этой волны в ряд Фурье войдут теперь наряду с членом с основной частотой ио также и члены с кратными частотами пио (п —целые числа). Таким образом, искажение профиля по мере распространения звуковой волны можно воспринимать как по- явление в ней наряду с основным тоном также и обертонов. Скорость и перемещения точек профиля волны (распростра- няющейся в положительном направлении оси х) в первом при- ближении получается, если положить в A01.11) v = 0, т. е. и = со, что соответствует распространению волны без изменения формы профиля. В следующем приближении имеем . ди i . ди ро и = со + —р' = с0 + — ^ v, иро оро со или с помощью выражения (99.10) для производной ди/др: и = со + aov, A02.1) где для краткости введено обозначение г) A02.2) Для политропных газов а = G + 1)/2, и формула A02.1) совпа- дает с точной формулой (см. A01.8)) для скорости и. 1) В задаче 1 к § 93 эта величина была обозначена как av. 534 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X В общем случае произвольной амплитуды волна перестает быть простой после появления в ней разрывов. Существенно, од- нако, что волна малой амплитуды во втором приближении оста- ется простой и при наличии разрывов. Убедиться в этом можно следующим образом. Изменения скорости, давления и удельного объема в ударной волне связаны друг с другом соотношением vi—v2 = л/(р2 —pi)(Vi - V2). Изменение же скорости v вдоль некоторого участка длины оси х в простой волне равно интегралу Простое вычисление с помощью разложения в ряд показывает, что оба написанных выражения отличаются друг от друга толь- ко в членах третьего порядка (при вычислении следует иметь в виду, что изменение энтропии в разрыве есть величина третьего порядка малости, а в простой волне энтропия вообще постоянна). Отсюда следует, что с точностью до членов второго порядка зву- ковая волна с каждой стороны от образовавшегося в ней разры- ва остается простой, причем на самом разрыве будет выполнено надлежащее граничное условие. В следующих же приближениях это уже не будет иметь места, что связано с появлением отра- женных от поверхности разрыва волн. Выведем теперь условие, с помощью которого можно опреде- лить местонахождение разрывов в бегущей звуковой волне (все в том же втором приближении). Пусть и есть скорость движения разрыва (относительно неподвижной системы координат), а v\, 1J — скорости газа по обеим его сторонам. Тогда условие непре- рывности потока вещества запишется: pi(vi -и) = p2(v2 -и), откуда piVi — P2V2 и = —. р\ - р2 С точностью до членов первых двух порядков эта величина рав- на значению производной d(pv)/dp, взятому в точке, где аргу- мент v равен полусумме v = [v\ +1J)/2. Поскольку же в простой волне d{pv)/dp = v + с, то согласно A02.1) имеем I Vl ~Т~ V2 (-1 глгь О\ и = cq + cxq . {±1J.о) Отсюда можно получить следующее простое геометрическое условие, определяющее место ударной волны. На рис. 82 кривой § 102 ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ 535 линией изображен профиль распределения скоростей, соответ- ствующий простой волне, и пусть отрезок ае есть возникающий в волне разрыв (xs — его координата). Разность заштрихованных на рисунке площадей abc и cde определяет- ся интегралом V2 I (x-xs dv, взятым по кривой abode. С течением вре- мени профиль волны смещается; вычислим производную по времени от написанного интеграла. Поскольку скорость dx/dt то- рис g2 чек профиля волны определяется форму- лой A02.1), а скорость dx/dt разрыва — формулой A02.3), то мы получим V2 d f / — / (x — dt J v dv = a vdv — (при дифференцировании интеграла надо иметь в виду, что хо- тя сами пределы интегрирования v\ и V2 тоже меняются со вре- менем, но значение х — xs на них всегда есть нуль и поэтому достаточно дифференцировать только под знаком интеграла). Таким образом, интеграл f(x—xs)dv остается с течением вре- мени постоянным. Поскольку же в начальный момент возникно- вения ударной волны он равен нулю (точки а и е совпадают), то и всегда (х — xs) dv = 0. A02.4) abode Геометрически это означает, что площадь abc равна площади cde. Этим условием определяется положение разрыва. Образование разрывов в звуковой волне представляет собой пример самопроизвольного возникновения ударных волн в от- сутствие каких бы то ни было особенностей во внешних условиях движения. Следует подчеркнуть, что хотя ударная волна может самопроизвольно возникнуть в некоторый дискретный момент времени, она не может столь же дискретным образом исчезнуть. Раз возникнув, ударная волна затухает в дальнейшем лишь асим- птотически при неограниченном увеличении времени. Рассмотрим одиночный одномерный звуковой импульс сжа- тия газа, в котором уже успела образоваться ударная волна, и выясним, по какому закону будет происходить окончательное за- тухание этой волны. На поздних стадиях своего распространения 536 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X звуковой импульс с ударной волной будет иметь треугольный профиль скоростей, —линейный профиль при своем дальнейшем деформировании остается линейным . Пусть в некоторый момент времени (который примем за мо- мент t = 0) профиль изображается треугольником ABC на рис. 83 а (значения величин, относящие- ся к этому моменту времени, будем от- личать индексом 1) 2) . Перемещая точки этого профиля со скоростями A02.1), мы получили бы по истечении времени t про- филь А'В'С (рис. 83 б"). В действитель- ности разрыв переходит в точку Е и ис- тинный профиль будет A'DE. Площади DB'F и C'FE равны друг другу в силу условия A02.4); поэтому площадь A'DE нового профиля равна площади ABC ис- ходного профиля. Пусть / — длина звуко- рис gg вого импульса в момент времени ?, a Av — скачок скорости в ударной волне. За вре- мя t точка В смещается относительно точки С на расстояние at(Av)i; поэтому тангенс угла В'АС равен (Avi)/[li + at (Av)i\, и мы получаем условие равенства площадей ABC и A'DE в виде h +at(Av)i откуда l = h 1/2 -1/2 A02.5) Полная энергия бегущего звукового импульса (отнесенная к еди- нице площади ее фронта) равна -1/2 A02.6) 1) Здесь и ниже мы говорим о профиле распределения скорости v — имея в виду лишь простоту записи формул. Фактически более интересной величи- ной является избыточное давление р , отличающееся от v лишь постоянным множителем: р = v/(poco); к нему относятся такие же результаты. Отме- тим, что знак v совпадает со знаком р , так что v > 0 отвечает сжатию, & v < 0 — разрежению. Скорость перемещения точек профиля выражается через р формулой и = соA + vop/po), у = ар/(рс2) (для политропного газа v = G + 1)/B7))- ) Индекс же 0, отличающий равновесные значения величин, будем ниже опускать. § 102 ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ 537 При t —>> оо величина скачка в ударной волне и ее энергия затухают асимптотически как t/2 (или, что то же, как ж/2 — с расстоянием х = ct). Длина же импульса возрастает как t1/2. Обратим внимание также на то, что предельное значение угла наклона профиля Av/l —>• l/(at) не зависит ни от величины скач- ка, ни от длины импульса. Рассмотрим теперь предельные (на больших расстояниях от источника) свойства ударных волн, образующихся в цилиндри- ческих и сферических звуковых волнах (Л.Д. Ландау, 1945), На- чнем с цилиндрического случая. На достаточно больших расстояниях г от оси такую волну в каждом небольшом ее участке можно рассматривать как плос- кую. Скорость перемещения каждой точки профиля волны бу- дет тогда определяться формулой A02.1). Однако если мы хотим проследить с помощью этой формулы за смещением точки про- филя на протяжении больших промежутков времени, то необхо- димо учесть, что амплитуда цилиндрической волны уже в пер- вом приближении падает с расстоянием как г/2. Это значит, что для каждой точки профиля v будет не постоянной (как для плоской волны), а будет убывать как г/2. Если v\ есть значе- ние v (для заданной точки профиля) на расстоянии (большом) ri, то можно написать v = vi{r\/rI/2. Таким образом, для ско- рости и точек профиля волны будем иметь A02.7) Первый член представляет собой обычную скорость звука и соот- ветствует перемещению волны «без изменения формы профиля» (отвлекаясь от общего уменьшения амплитуды как г/2, т. е. по- нимая под профилем распределение величины Vy/r). Второй же член приводит к искажению профиля. Величина дг этого допол- нительного смещения точек профиля в течение времени (г—г\)/с получится интегрированием по dr/c: Sr = 2a-y/r{(y/r - у/п) • A02.8) Искажение профиля цилиндрической волны растет медлен- нее, чем у плоской волны (где смещение 6х растет пропорци- онально самому проходимому расстоянию х). Но и здесь оно, разумеется, приводит в конце концов к образованию разрывов. Рассмотрим ударные волны, образующиеся в достаточно дале- ко удалившемся от источника (оси) одиночном цилиндрическом звуковом импульсе. Цилиндрический случай существенно отличается от плоско- го прежде всего тем, что одиночный импульс не может состоять 538 ОДНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ СЖИМАЕМОГО ГАЗА ГЛ. X из одного только сжатия или только разрежения; если за перед- ним фронтом звукового импульса имеется область сжатия, то за ней должна следовать область расширения (см. § 71) . Точка максимального разрежения будет отставать от всех расположен- ных сзади нее, в результате чего и здесь возникнет опрокидыва- ние профиля и появится разрыв. Таким образом, в цилиндриче- ском звуковом импульсе образуются две ударные волны. В пе- реднем разрыве скорость скачком возрастает от нуля, затем сле- дует область постепенного уменьшения сжатия, сменяющегося разрежением, после чего давление вновь возрастает скачком во втором разрыве. Но цилиндрический звуковой импульс специфи- чен (по сравнению как с плоским, так и сферическим случаями) еще и в том отношении, что он не сможет иметь заднего фрон- та—стремление v к нулю происходит лишь асимптотически. Это приводит к тому, что в заднем разрыве v возрастает не до ну- ля, а лишь до некоторого конечного (отрицательного) значения, г- и лишь затем асимптотически стремится к нулю. В результате возникает профиль изображенного на рис. 84 вида. Предельный закон, по которому бу- дет происходить окончательное затухание ударных волн со временем (или, что то же, с расстоянием г от оси), можно найти ана- Рис. 84 логично тому, как это было сделано выше для плоского случая. Из приведенного там вывода видно, что предельный закон отвечает времени, когда смещение 5г верхней точки профиля становится уже большим но сравнению с «первоначальной» шириной импульса 1\ (под ко- торой будем понимать, например, расстояние от переднего раз- рыва до точки с v = 0). Это смещение на пути от г\ до г <ic r\ есть 2а 6г « —(Av)iy/rir, с где (Av)i «первоначальный» (на расстоянии г\) скачок на пе- реднем разрыве. Тогда «конечный» тангенс угла наклона ли- нейной части профиля между разрывами будет ~y/ri(Av)i/Sr~ « с/Bал/г). Условие постоянства площади профиля дает откуда / ос г1/4 (вместо закона / ос ж1/2 в плоском случае). Пре- дельный закон убывания скачка Av в переднем разрыве получа- ется затем из ly/rAv = const, т. е. Дг; ос г/4. A02.9) 1)Мы будем иметь в виду именно такое расположение. Оно отвечает, в частности, применению излагаемых результатов к ударным волнам, возни- кающим при сверхзвуковом движении конечного тела (§ 122). § 102 ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ В ЗВУКОВОЙ ВОЛНЕ 539 Наконец, рассмотрим сферический случай . Общее убывание амплитуды расходящейся звуковой волны происходит как 1/г (где г — теперь расстояние от центра). Повторяя все изложен- ные выше для цилиндрического случая рассуждения, получим для скорости перемещения точек профиля волны и = с+^^, A02.10) Г после чего найдем смещение дг точки профиля на пути от г\ до г: 6г = ^Г±Ы^. A02.11) с п Мы видим, что искажение профиля сферической волны растет с расстоянием лишь логарифмически — гораздо медленнее, чем в плоском и даже цилиндрическом случаях. Сферическое распространение звукового импульса сжатия должно сопровождаться, как и в цилиндрическом случае, сле- дующим за сжатием разрежением (см. § 70). Поэтому и здесь должны образоваться два разрыва (сферический одиночный им- пульс может, однако, иметь задний фронт и тогда во втором раз- рыве v возрастает скачком сразу до нуля) 2) . Тем же способом найдем предельные законы возрастания длины импульса и убы- вания интенсивности ударной волны: I ex JLi, Av a \ A02.12) где а — некоторая постоянная размерности длины 3) .
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Образование разрывов в звуковой волне» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 