Наряду с поверхностями разрывов, на которых испытывают скачок величины /э, р, v и т. п., могут существовать также и такие поверхности, на которых эти величины как функции ко- ординат обладают какими-либо особенностями, оставаясь сами непрерывными. Эти особенности могут быть самого разнообраз- ного характера. Так, на поверхности разрыва могут испытывать скачок первые производные по координатам от величин р, р, v, ... или же эти производные могут обращаться в бесконеч- ность. Наконец, то же самое может иметь место для производ- ных не первого, а более высоких порядков. Все такие поверхности мы будем называть поверхностями слабого разрыва в противо- положность сильным разрывам (ударным волнам и тангенциаль- ным разрывам), в которых испытывают скачок сами указанные величины. Отметим, что ввиду непрерывности самих этих вели- чин на поверхности слабого разрыва, непрерывны также и их тангенциальные производные; разрыв непрерывности испыты- вают лишь нормальные к поверхности производные. Легко убедиться простыми рассуждениями, что поверхности слабого разрыва распространяются относительно газа (по обе стороны поверхности) со скоростью, равной скорости звука. Дей- ствительно, поскольку функции р, ]9, v, ... сами не испытывают скачка, то их можно сгладить, заменив функциями, совпадаю- щими с ними везде, кроме окрестности поверхности разрыва, а в этой окрестности отличающимися лишь на сколь угодно ма- лые величины, но так, что сглаженные функции не имеют уже никаких особенностей. Истинное распределение, скажем, давле- ния, можно, таким образом, представить в виде наложения со- вершенно плавного распределения р$ без всяких особенностей и очень малого нарушения р1 этого распределения вблизи поверх- ности разрыва. Последнее же, как и всякое малое возмущение, распространяется относительно газа со скоростью звука. Подчеркнем, что в случае ударной волны сглаженные функ- ции отличались бы от истинных на величины, вообще говоря, отнюдь не малые, и предыдущие рассуждения поэтому неприме- нимы. Однако если скачок величин в ударной волне достаточно мал, то эти рассуждения вновь делаются применимыми, и такие § 96 СЛАБЫЕ РАЗРЫВЫ 499 разрывы тоже должны распространяться со скоростью звука, — этот результат был уже получен в § 86 другим способом. Если движение стационарно относительно данной системы координат, то поверхность разрыва неподвижна относительно этой системы, а газ протекает через нее. При этом нормальная к поверхности разрыва компонента скорости газа должна быть равна скорости звука. Если обозначить буквой а угол между на- правлением скорости газа и касательной плоскостью к поверхно- сти, то должно быть vn = vs'ma = с, или sin a = c/v, т. е. поверхность слабого разрыва пересекает линию тока под уг- лом Маха. Другими словами, поверхность слабого разрыва сов- падает с одной из характеристических поверхностей,—резуль- тат вполне естественный, если иметь в виду физический смысл последних как поверхностей, вдоль которых распространяются малые возмущения (§ 82). Ясно, что при стационарном движе- нии газа слабые разрывы могут появиться только при скоростях, равных или превышающих скорость звука. В отношении способов возникновения слабые разрывы суще- ственно отличаются от сильных. Мы увидим, что ударные вол- ны могут образовываться сами по себе, непосредственно в ре- зультате движения газа, при непрерывных граничных условиях (например, образование ударных волн в звуковой волне; § 102). В противоположность им слабые разрывы не могут возникать сами по себе; их появление всегда связано с какими-либо особен- ностями в граничных или начальных условиях движения. Осо- бенности эти могут быть, как и сами слабые разрывы, самого различного характера. Так, причиной образования слабого раз- рыва может являться наличие углов на поверхности обтекаемого тела; на возникающем в этом случае слабом разрыве испытыва- ют скачок первые производные скорости по координатам. К об- разованию слабого разрыва приводит также и скачок кривизны поверхности тела без угла на ней (причем испытывают разрыв вторые производные скорости по координатам) и т. п. Наконец, всякая особенность в изменении движения со временем влечет за собой возникновение нестационарного слабого разрыва. Касательная к поверхности слабого разрыва компонента ско- рости протекающего через нее газа направлена всегда по направ- лению от того места (например, угла на поверхности тела), отку- да исходят возмущения, вызывающие возникновение этого раз- рыва; мы будем говорить, что разрыв «исходит» из этого места. Это есть одно из проявлений направленности распространения возмущений вниз по течению в сверхзвуковом потоке. Наличие вязкости и теплопроводности приводит к возник- новению ширины у слабого разрыва, так что слабые разрывы, как и сильные, представляют собой в действительности некото- 500 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX рые переходные слои. Однако в отличие от ударных волн, шири- на которых зависит только от их интенсивности и постоянна во времени, ширина слабого разрыва растет со временем, начиная с момента образования разрыва. Закон, по которому происхо- дит это возрастание, легко найти (качественно) исходя из анало- гии между перемещением слабого разрыва и распространением малых звуковых возмущений. При наличии вязкости и тепло- проводности возмущение, сконцентрированное первоначально в малом элементе объема (волновой пакет), по мере своего переме- щения с течением времени расширяется; закон этого расширения был определен в § 79. Из него можно сразу заключить, что ши- рина S слабого разрыва б-(асНI/2, (96.1) где t — время, прошедшее с момента его возникновения, а а — коэффициент при квадрате частоты в формуле G9.6) для по- глощения звука. Если мы имеем дело со стационарной картиной, в которой разрыв покоится, то вместо времени t надо говорить о расстоянии / от места, из которого исходит разрыв (например, для слабого разрыва, возникающего от угла на поверхности об- текаемого тела, / есть расстояние от вершины угла); тогда 6 ~ -(асЧI'2 *). В заключение этого параграфа необходимо сделать замеча- ние, аналогичное замечанию в конце § 82. Там было отмечено, что среди различных возмущений состояния движущегося газа исключительными по своим свойствам являются возмущения эн- тропии (при постоянном давлении) и ротора скорости. Эти воз- мущения покоятся относительно газа, а не распространяются со скоростью звука. Поэтому поверхности, на которых испытыва- ют какой-либо слабый разрыв непрерывности энтропия и ротор скорости 2) , покоятся относительно газа, а относительно непо- движной системы координат переносятся вместе с самим газом. Такие разрывы мы будем называть тангенциальными слабыми разрывами] они проходят через линии тока и в этом отношении вполне аналогичны «сильным» тангенциальным разрывам.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Слабые разрывы» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
