Мы говорили до сих пор об ударных волнах как о геомет- рических поверхностях, не обладающих толщиной. Рассмотрим теперь вопрос о структуре реальных физических поверхностей разрыва. Мы увидим, что ударные волны с небольшими скачка- ми величин представляют собой в действительности переходные слои конечной толщины, уменьшающейся при увеличении вели- чины скачков. Если же скачки величин в ударной волне не малы, то, действительно, разрыв происходит настолько резко, что в ма- кроскопической теории не имеет смысла говорить о его толщине. Для определения структуры и толщины переходного слоя на- до учесть вязкость и теплопроводность газа, влиянием которых мы до сих пор пренебрегали. Соотношения (85.1)—(85.3) на ударной волне были получены из условий постоянства потоков вещества, импульса и энергии. Если рассматривать поверхность разрыва как слой конечной тол- щины, то эти условия надо писать не в виде равенства соответ- ствующих величин по обе стороны разрыва, а в виде их постоян- ства вдоль всей толщины разрывного слоя. Первое из этих усло- вий (85.1) не меняется: pv = j = const. (93.1) В двух же других условиях надо учесть дополнительные по- токи импульса и энергии, обусловленные внутренним трением и теплопроводностью. Плотность потока импульса (вдоль оси ж), обусловленного внутренним трением, определяется компонентой — ахх вязкого тензора напряжений; согласно общему выражению A5.3) для этого тензора имеем Условие (85.2) приобретает теперь вид 2) [1 + (J^ = const. x) Подробные графики и диаграммы, относящиеся к ударной поляре (для 7 = 1,4) можно найти в кн.: Липман Г.В., Рошко А. Элементы газовой дина- мики. — М.: ИЛ, 1960. [Ыертапп Н. W., Roshko A. Elements of gas dynamics. — N. Y.: J. Wiley, 1957]; Oswatitsch K. Gas dynamics. — N. Y.: Academic Press, 1956. 2) Положительное направление оси х совпадает с направлением движения газа через неподвижную ударную волну. Если перейти к системе отсчета, в которой неподвижен газ перед ударной волной, то сама ударная волна будет двигаться в отрицательном направлении оси х. 488 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Как и в § 85, введем вместо скорости v удельный объем V со- гласно v = jV. Постоянную же в правой части равенства выра- зим через предельные значения величин на большом расстоянии впереди ударной волны (сторона 1). Тогда написанное условие примет вид (j )^ = 0. (93.2) Далее, плотность потока энергии, обусловленного теплопро- водностью, есть —кдТ/дх. Поток же энергии, связанный с вну- тренним трением, есть / / (А . Л dv —a^Vi = —a^^v = — -7? + С ]v —. Xl xx V3 / dx Таким образом, условие (85.3) напишется в виде 2 dT или, снова введя v = jV и выразив const через величины с ин- дексом 1: J2 2 2 (А \^У к dT /по о\ > [ ) (93.3) Мы будем рассматривать здесь ударные волны, в которых все величины испытывают лишь малый скачок. Тогда и все раз- ности V — Vi, р — р\ и т. п. между значениями величин внутри переходного слоя и вне его тоже малы. Из получающихся ниже соотношений видно, что 1/S (где S — ширина разрыва) есть ве- личина первого порядка малости по P2~Pi- Поэтому дифферен- цирование по х увеличивает порядок малости на единицу (так, производная dp/dx — величина второго порядка). Умножим уравнение (93.2) на (V + Vi)/2 и вычтем его из уравнения (93.3). Тогда получим UpPl)(V + V1) = ^ (93.4) 2 j dx (здесь опущен член, содержащий (V — V\)dV/dx, являющийся малой величиной третьего порядка). Разложим выражение в ле- вой части (93.4) по степеням р — р\ и s — «si, выбрав давление и энтропию в качестве основных независимых переменных. Члены первого и второго порядка по р — р\ в этом разложении выпадают (ср. вычисления при выводе формулы (86.1)) и, опустив члены более высокого порядка, получим просто T(s — s\). Производную же dT /dx пишем в виде dT_ _ (дТ_\ dp_ (дТ_\ ds_ dx V dp ) s dx V ds ) p dx § 93 ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН 489 Член с производной ds/dx можно опустить как малую величину третьего порядка (см. ниже), и в результате находим формулу, выражающую функцию s(x) через функцию р(х): Iе- (93.5) дх Обратим внимание на то, что разность s — si внутри пере- ходного слоя оказывается величиной второго порядка малости, между тем как полный скачок 52 — si является (как было показа- но в § 86) величиной третьего порядка по сравнению со скачком давления р2 — р\. Это связано с тем, что (как будет показано ниже) давление р(х) меняется в переходном слое монотонно от одного предельного значения р\ до другого р2] энтропия же s(x), определяясь производной dp/dx, проходит через максимум, до- стигая наибольшего значения внутри переходного слоя. Уравнение, определяющее функцию р(х), можно было бы по- лучить путем аналогичного разложения уравнений (93.2), (93.3) и их комбинирования друг с другом. Мы, однако, изберем дру- гой, более поучительный способ, позволяющий более ясно понять происхождение различных членов в уравнении. В § 79 было показано, что монохроматическое слабое возму- щение состояния газа (звуковая волна) затухает по мере своего распространения с декрементом, пропорциональным квадрату частоты: j = аио2] положительный коэффициент а выражает- ся через коэффициенты вязкости и теплопроводности согласно формуле G9.6). Там же было показано, что это затухание мо- жет быть описано (для произвольной плоской звуковой волны) введением дополнительного члена в линеаризованное уравнение движения —см. G9.9). Заменив в этом уравнении вторую произ- водную по времени второй производной по координате и изменив знак перед производной др'/дх (что отвечает распространению волны в отрицательном направлении оси х *)), запишем его в виде — — с— = ас , (Уо.о) dt дх дх2' V J где р' — переменная часть давления. Для учета слабой нелинейности надо ввести в это уравнение член вида р'др'/дх: др др /др' ъд2р /по п\ — — с— — а„р — = ас —^-. (93.7) dt дх pF дх дх2 v J ) Этот выбор направления распространения связан с замечанием, сделан- ным в примеч. на с. 487 490 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX Коэффициент ар в нелинейном члене определяется путем со- ответствующего разложения гидродинамических уравнений иде- альной (без диссипации) жидкости и оказывается равным с3 d2V\ ,OQ r av = (93.? p 2V2 \dv2 s v (см. задачу) х) . Уравнение (93.7) описывает распространение возмущений в слабо диссипирующей, слабо нелинейной среде. В применении к слабой ударной волне оно описывает ее распространение в систе- ме отсчета, в которой невозмущенный газ (перед волной) непо- движен. Требуется найти решение со стационарным (не зави- сящим от времени) профилем, в котором вдали от волны, при х —>• =Ьоо, давление принимает заданные значения р2 и р\\ раз- ность р2 — р\ есть скачок давления в разрыве 2) . Волна со стационарным профилем описывается решением вида р'(х, t) = p'(x + v1t), (93.9) где v\— скорость распространения такой волны. Подстановка в (93.7) приводит к уравнению ± [(«! - с)р> - fp'2 - аЩ] =0, Z = х первый интеграл которого: ^- = -^Рр'2 + (Wl - с))р' + const. (93.10) dt 2 Квадратный трехчлен в правой части равенства должен обра- щаться в нуль при значениях ]/, отвечающих предельным усло- виям на бесконечностях, где производная dp'/d^ обращается в *) Введя новую неизвестную функцию и = —р'ар, новую (вместо х) неза- висимую переменную ? = х + ct и обозначив fi = ас3, приведем уравнение (93.7) к виду ди д д2и /no n ч У и— = а , (93.7а) dt DC, ОС в котором его называют уравнением Бюргерса (J.M. Burgers, 1940). ) Мы увидим в дальнейшем (§ 102), что в отсутствие диссипации эффек- ты нелинейности приводят к искажению профиля волны по мере ее рас- пространения— постепенному возрастанию крутизны фронта волны. В свою очередь, это возрастание приводит к усилению диссипативных эффектов, стремящихся уменьшить крутизну профиля (т. е. уменьшить градиенты ме- няющихся величин). Именно взаимная компенсация этих противоположных тенденций приводит к возможности распространения волн со стационарным профилем в нелинейной диссипативной среде. § 93 ШИРИНА УДАРНЫХ ВОЛН 491 нуль. Эти значения равны р2 — р\ и 0, если условиться отсчиты- вать р' от невозмущенного давления р\ перед волной. Это значит, что указанный трехчлен может быть представлен в виде причем константа v\ выражается через р\ и р2 согласно ^i=c+^(p2-Pl). (93.11) Для самого же давления р уравнение (93.10) принимает вид Решение этого уравнения, удовлетворяющее требуемым усло- виям есть _ Pl +P2 , Р2 -Р1 ^ (р2 -Pl)(x + Vit) Р 2 2 4acs/ap Этим решается поставленная задача. Возвратившись снова к си- стеме отсчета, в которой ударная волна покоится, напишем фор- мулу, определяющую ход изменения давления в ней в виде ( } 6 = — . (93.13) (pp)(d*V/dp*) V ' где Практически все изменение давления от р\ до р% происходит на расстоянии г^>8 — ширине ударной волны. Мы видим, что шири- на волны уменьшается с увеличением ее интенсивности — скачка давления р2 — р\ . Для хода изменения энтропии внутри разрыва имеем из (93.5) и (93.12): >с (дТ\ (d2V\ , ч2 1 /по лл\ 16caVT \ op / s V ар2 / s ch (ж/о) Отсюда видно, что энтропия меняется не монотонно, а имеет максимум внутри ударной волны (при х = 0). При ж = =Ьоо эта формула дает одинаковые значения s = S]_: это связано с тем, что Для ударной волны, распространяющейся в смеси, определенный вклад в ее ширину возникает также и от процессов диффузии в переходном слое. Вычисление этого вклада см. Дьяков СП. // ЖЭТФ. 1954. Т. 27. С. 283. Упомянем также, что ударные волны слабой интенсивности остаются устойчивыми по отношению к поперечной модуляции (ср. примеч. на с. 475) и при учете их диссипативной структуры; см. Спектпор М.Д. // Письма ЖЭТФ. 1983. Т. 35. С. 181. 492 УДАРНЫЕ ВОЛНЫ ГЛ. IX полное изменение энтропии 52 — si является величиной третьего порядка по р2 — р\ (ср. (86.1)), в то время как s — s\ —второго. Формула (93.12) применима количественно только при доста- точно малых разностях р2 — р\. Однако качественно мы можем применить формулу (93.13) для определения порядка величины ширины ударной волны и в тех случаях, когда разность Р2~Р\ — порядка величины самих давлений р\^ р2. Скорость звука в га- зе—порядка величины тепловой скорости v молекул. Кинемати- ческая же вязкость, как известно из кинетической теории газов, v ~ lv ~ /с, где / — длина свободного пробега молекул. Поэтому а ~ 1/с2 (оценка члена с теплопроводностью дает то же самое). Наконец, (d2V/dp2)s ~ V/p2 и pV ~ с2. Внося эти выражения в (93.13), получаем S~l (93.15) Таким образом, ширина ударных волн большой интенсивно- сти оказывается порядка величины длины свободного пробега молекул газа х) . Но в макроскопической газодинамике, тракту- ющей газ как сплошную среду, длина свободного пробега долж- на рассматриваться как равная нулю. Поэтому, строго говоря, чисто газодинамические методы непригодны для исследования внутренней структуры ударных волн большой интенсивности.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Ширина ударных волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 