Наличие вязкости и теплопроводности приводит к диссипа- ции энергии звуковых волн, в связи с чем звук поглощается, т. е. его интенсивность постепенно уменьшается. Для вычисле- ния диссипируемой в единицу времени энергии Еме^ воспользу- емся следующими общими соображениями. Механическая энер- гия представляет собой не что иное, как максимальную работу, которую можно получить при переходе из данного неравновесно- го состояния в состояние термодинамического равновесия. Как известно из термодинамики, максимальная работа совершается, если переход происходит обратимым образом (т. е. без изменения энтропии), и равна соответственно этому ^мех = Eq — E(S), где Eq есть заданное начальное значение энергии тела в исходном состоянии, a E(S)—энергия тела в состоянии равновесия с той же энтропией о, которую тело имело вначале. Дифференцируя по времени, получаем ^мех = -E(S) = ~T^S- Производная от энергии по энтропии есть температура. По- дЕ r r этому — — температура, которую имело бы тело, если бы оно на- с/о ходилось в состоянии термодинамического равновесия (с задан- ным значением энтропии). Обозначая эту температуру как То, имеем, следовательно: Воспользуемся для S выражением D9.6), включающим в се- бя возрастание энтропии, обусловленное как теплопроводностью, 422 звук гл. viii так и вязкостью. Поскольку температура Т мало меняется вдоль жидкости и мало отличается от То, то можно вынести ее из-под знака интеграла и писать Т вместо Tq: T J 2 J \дхк dxi 3 dxi/ -C UdiYwfdV. G9.1) Эта формула представляет собой обобщение формулы A6.3) на случай сжимаемой жидкости и наличия теплопроводности. Пусть ось х совпадает с направлением распространения зву- ковой волны. Тогда vx = ^o cos (kx — uot), vy = vz = 0. Два последних члена в G9.1) дают Нас, конечно, интересует среднее по времени значение величин; усреднение дает 2/^4 \ 1 (Vq — объем жидкости). Далее, вычислим первый член в G9.1). Отклонение Т' темпе- ратуры в звуковой волне от своего равновесного значения связа- но со скоростью формулой F4.13), так что градиент температу- ры равен — = р = — -—voksm{kx — cot). дх ср дх ср Для среднего по времени значения от первого члена в G9.1) получаем С помощью известных термодинамических формул 2с-^ G9.2) с дрУТ ср \др/ s можно переписать это выражение в виде )к cp) Собирая полученные выражения, находим среднее значение диссипации энергии в виде (l )(ii)] (TO,) р х, ( 1 1 \ j 2 — — — — — )к 2 Key cp) § 79 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА 423 Полная же энергия звуковой волны равна E=^V0. G9.4) Введенный в § 25 коэффициент затухания волны определяет закон уменьшения интенсивности со временем. Для звука, одна- ко, обычно приходится иметь дело с несколько иной постанов- кой задачи, в которой звуковая волна распространяется вдоль жидкости и ее интенсивность падает с увеличением пройденного расстояния х. Очевидно, что это уменьшение будет происходить по закону е~27Ж, а для амплитуды — как е~7Ж, где коэффициент поглощения 7 определяется следующим соотношением 7 = LTr— G9.5) 2сЕ Подставляя сюда G9.3) и G9.4), находим, таким образом, сле- дующее выражение для коэффициента поглощения звука: , ,2 7 = А + Jl_ _ Ml = аад G9.6) V \cv cpj] v J 2рс3 Отметим, что он пропорционален квадрату частоты звука г) . Эта формула применима постольку, поскольку определяемый ею коэффициент поглощения мал: должно быть мало относи- тельное убывание амплитуды на расстояниях порядка длины вол- ны (т. е. должно быть jc/uj^I). На этом предположении по суще- ству основан изложенный вывод, так как мы вычисляли дисси- пацию энергии с помощью незатухающего выражения для звуко- вой волны. Для газов это условие фактически всегда выполнено. Рассмотрим, например, первый член в G9.6). Условие jc/lj <С 1 означает, что должно быть исо/с2 <С 1. Но, как известно из кине- тической теории газов, коэффициент вязкости v газа — порядка величины произведения длины свободного пробега / на среднюю тепловую скорость молекул; последняя совпадает по порядку ве- личины со скоростью звука в газе, так что v ~ 1с. Поэтому имеем < 1, G9.7) с2 с X так как заведомо / <^ А. Член с теплопроводностью в G9.6) дает то же самое, поскольку х ~ v- 1) Специфический механизм поглощения должен иметь место при распро- странении звука в двухфазной среде — эмульсии (М. А. Исакович, 1948). Вви- ду различия в термодинамических свойствах компонент эмульсии измене- ния их температуры при прохождении звуковой волны будут, вообще говоря, различны. Возникающий при этом между ними теплообмен приведет к до- полнительному поглощению звука. Вследствие сравнительной медленности этого теплообмена уже сравнительно рано возникает и существенная дис- персия звука. 424 звук гл. viii Что же касается жидкостей, то и здесь условие малости по- глощения выполняется всегда, когда вообще имеет смысл задача о поглощении звука в той постановке, о которой здесь шла речь. Поглощение (на длине волны) может стать большим, лишь если силы вязких напряжений сравнимы с силами давления, возни- кающими при сжатии вещества. Но в таких условиях становится неприменимым уже самое уравнение Навье-Стокса (с не завися- щими от частоты коэффициентами вязкости) и возникает суще- ственная, связанная с процессами внутреннего трения дисперсия звука . При поглощении звука соотношение между волновым векто- ром и частотой можно, очевидно, написать в виде к = - + гаси2 G9.8) с (где а — коэффициент в G9.6)). Легко сообразить соответственно этому, каким образом надо видоизменить уравнение бегущей зву- ковой волны для того, чтобы учесть в нем эффект поглощения. Для этого замечаем, что в отсутствие поглощения дифференци- альное уравнение для, скажем, давления р1 = р'(х — ct) можно написать в виде дх ~ с dt' Уравнение же, решением которого была бы функция ег(кх~шг) с к из G0.8), надо, очевидно, написать в виде д_1 = _i_d_l оу_ дх с dt dt2 V J Если ввести вместо t переменную т = t — ж/с, то это уравнение перейдет в дх дт2 т. е. уравнение типа одномерного уравнения теплопроводности. Общее решение этого уравнения можно написать в виде (см. § 51) J (гп ч-\ / rl (г'\ рул (г ~ т) rjr1 f7Q 1 С\\ Р уХ, Т J — I Pq уТ J сХр — GjT у I с/ . 1\j J (где Pq(t) = pf@, т)). Если волна излучалась в течение огра- ниченного промежутка времени, то на достаточно больших Особый случай, когда возможно сильное поглощение звука, которое мо- жет быть рассмотрено обычными методами, — газ с аномально большой (по сравнению с его вязкостью) теплопроводностью, связанной с посторонними причинами, например, с лучистой теплопроводностью при очень высоких температурах (ср. задачу 3 этого параграфа). § 79 ПОГЛОЩЕНИЕ ЗВУКА 425 расстояниях от источника это выражение переходит в р'(х, г) = —L= exp (~?^) [р'о(т') drf. G9.11) Другими словами, на больших расстояниях профиль волны опре- деляется гауссовой кривой. Его ширина ^(ажI/2, т. е. растет про- порционально корню из пройденного волной расстояния, ампли- туда же волны падает как ж/2. Отсюда легко заключить, что полная энергия волны падает по тому же закону х~1'2. Легко вывести аналогичные формулы для шаровых волн. При этом надо учитывать, что для такой волны I p' dt = 0 (см. G0.8)). Вместо G9.11) получим теперь // \ , 1 д ехр [—т2/DагI р г, т) = const • — — — ± \ 1 / г\ 1/9 г от г1'2 или р'(г, г) = const • -±- ехр (-—) • G9.12) Сильное поглощение должно происходить при отражении зву- ковой волны от твердой стенки. Причина этого явления состоит в следующем (K.F. Herzfeld, 1938; Б.П. Константинов, 1939). В звуковой волне наряду с плотностью и давлением испы- тывает периодические колебания около своего среднего значе- ния также и температура. Поэтому вблизи твердой стенки име- ется периодически меняющаяся по величине разность темпера- тур между жидкостью и стенкой, даже если средняя температу- ра жидкости равна температуре стенки. Между тем на самой поверхности температуры соприкасающихся жидкости и стен- ки должны быть одинаковыми. В результате в тонком присте- ночном слое жидкости возникает большой градиент температу- ры; температура быстро меняется от своего значения в звуко- вой волне до температуры стенки. Наличие же больших гради- ентов температуры приводит к большой диссипации энергии пу- тем теплопроводности. По аналогичной причине к большому по- глощению звука приводит при наклонном падении волны также и вязкость жидкости. При таком падении скорость жидкости в волне (по направлению распространения волны) имеет отличную от нуля компоненту, касательную к поверхности стенки. Между тем на самой поверхности жидкость должна полностью «прили- пать» к стенке. Поэтому в пристеночном слое жидкости возника- ет большой градиент касательной составляющей скорости , что и приводит к большой вязкой диссипации энергии (см. задачу 1).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Поглощение звука» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. 