Рассмотрим распространение звуковой волны вдоль длинной узкой трубки. Под узкой подразумевается трубка, ширина кото- рой мала по сравнению с длиной волны. Сечение трубки может меняться вдоль ее длины как по форме, так и по площади. Важ- но только, чтобы это изменение происходило достаточно медлен- но, — площадь S сечения должна мало меняться на расстояниях порядка ширины трубки. В этих условиях можно считать, что вдоль каждого попереч- ного сечения трубки все величины (скорость, плотность и т. п.) постоянны. Направление же распространения волны можно счи- тать везде совпадающим с направлением оси трубки. Уравнение, определяющее распространение такой волны, удобнее всего вы- вести методом, аналогичным примененному в § 12 для вывода уравнения распространения гравитационных волн в каналах. § 77 РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА ПО ТРУБКЕ 413 В единицу времени через сечение трубки проходит масса Spv жидкости. Поэтому количество (масса) жидкости в объеме ме- жду двумя бесконечно близкими поперечными сечениями трубки уменьшается в 1 с на (Svp)x+dx - (Svp)x = vp) dx ox (координата x вдоль оси трубки). Поскольку самый объем меж- ду обоими сечениями остается неизменным, то это уменьшение может произойти только за счет изменения плотности жидкости. Изменение плотности в единицу времени есть —, а соответ- dt ствующее уменьшение массы жидкости в объеме S dx между дву- мя сечениями равно Sdx. dt Приравнивая оба выражения, получаем уравнение qdP _ d(Spv) G7U dt ox представляющее собой уравнение непрерывности для жидкости в трубке. Далее, напишем уравнение Эйлера, опуская в нем квадра- тичный по скорости член: dv_ _ _^др_ ,rjrj 2) dt рдх' У ' ) Продифференцируем G7.1) по времени; при дифференцирова- нии правой части этого уравнения надо считать р не зависящим от времени, так как при дифференцировании р возникает член, содержащий v— = v— и потому малый второго порядка. Таким от от образом, Qd2p _ д (Q dv dt2 dx \ dt Подставляем сюда для dv/dt выражение G7.2), а стоящую сле- ва производную от плотности выражаем через производную от давления согласно р = р/с2. В результате получаем следующее уравнение распростране- ния звука в трубке: iHsw)-^ = °- G7-3) S дх \ дх/ с2 dt2 414 звук гл. viii В монохроматической волне р х) зависит от времени посредством множителя e~tujt1 и G7.3) переходит в (к = со/с — волновой вектор). Наконец, остановимся на вопросе об излучении звука из от- крытого конца трубки. Разность давлений между газом в кон- це трубки и газом в окружающем трубку пространстве мала по сравнению с разностями давлений внутри трубки. Поэтому в ка- честве граничного условия на открытом конце трубки надо с до- статочной точностью потребовать обращения давления р в нуль. Скорость же газа v у конца трубки при этом оказывается отлич- ной от нуля; пусть vq есть ее значение здесь. Произведение Svq есть количество (объем) газа, выходящего в единицу времени из конца трубки. Мы можем теперь рассматривать открытый конец трубки как некоторый источник газа с производительностью Svq. Задача об излучении из трубки делается эквивалентной задаче об излу- чении пульсирующего тела, определяющемся формулой G4.10). Вместо производной V от объема тела по времени мы должны теперь писать величину Svq. Таким образом, полная интенсив- ность излучаемого звука есть / = ЁЕК. G7.5)
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Распространение звука по трубке» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
