Рассмотрим теперь волну, в которой распределение всех ве- личин однородно вдоль некоторого одного направления (которое мы выберем в качестве оси z) и обладает полной аксиальной сим- метрией вокруг этой оси. В такой, как говорят, цилиндрической волне имеем (р = <р(г, ?), где буквой R обозначается расстояние до оси z. Определим общий вид такого осесимметрического реше- ния волнового уравнения. Это можно сделать, исходя из общего вида сферически симметричного решения G0.2). Расстояние R § 71 ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ 381 связано с г соотношением г2 = R? + ?2, так что <р, определяе- мое формулой G0.2), зависит при заданных t и R также и от z. Функцию, зависящую только от R и t и в то же время удовлет- воряющую волновому уравнению, можно получить интегриро- ванием выражения G0.2) по всем значениям z от —оо до +оо, или, что то же, от 0 до оо. Перейдем от интегрирования по z к интегрированию по г: Г~2 7у2 л r dr при изменении z от 0 до оо г меняется в пределах между R и оо. Поэтому находим окончательно общий вид осесимметрич- ного решения: оо оо R R где /i, /2 — произвольные функции. Первый член представляет собой расходящуюся, а второй — сходящуюся цилиндрическую волну. Производя в этих интегралах замену переменных ct =Ь г = ?, перепишем формулу G1.1) в виде ct—R 00 [ /i(g)g 1 / MO* GL2) -oo ct+R Мы видим, что значение потенциала в момент времени t (в точ- ке R) в расходящейся цилиндрической волне определяется значе- ниями функции fi(t) в течение всего времени от — оо до t — Rjc\ аналогично в сходящейся волне существенны значения функции /г(^) в течение всего времени от t + R/c до оо. Как и в сферическом случае, стоячие цилиндрические волны получаются при /i(?) = —/2@* Можно показать, что стоячая цилиндрическая волна может быть представлена также и в сле- дующем виде: ct+R V= , F(Ode , G1-3) ct-R где F(?) — снова произвольная функция. Выведем выражение для потенциала монохроматической ци- линдрической волны. Волновое уравнение для потенциала <р(Д, t) в цилиндрических координатах имеет вид IlJL(r^) - l^V =0 RdR\ OR/ с2 dt2 382 звук гл. viii В монохроматической волне ср = e~lujt f® и для функции f® получаем уравнение Это — уравнение функций Бесселя нулевого порядка. В стоячей цилиндрической волне ср должно оставаться конечным при R = 0; соответствующим решением является Jo(fci?), где Jo— функция Бесселя первого рода. Таким образом, в стоячей ци- линдрической волне G1.4) При R = 0 функция Jq обращается в единицу, так что ампли- туда волны стремится к конечной величине А. На больших же расстояниях R функцию Jo можно заменить ее известным асимп- тотическим выражением, в результате чего волна приобретет вид Решение же, соответствующее монохроматической бегущей расходящейся волне, есть ер = Ae~iu3tH§\kR), G1.6) где Hq — функция Ганкеля. При R —>• 0 это выражение имеет логарифмическую особенность: ф G1.7) тг На больших же расстояниях имеет место асимптотическая фор- мула А JI™i>[i(kR-wt-K/4)]^ G1.8) у тг VkR Мы видим, что амплитуда цилиндрической волны падает (на больших расстояниях) обратно пропорционально корню из рас- стояния до оси, а интенсивность соответственно, как 1/R. Этот результат естествен, поскольку по мере распространения волны полный поток энергии в ней распределяется по цилиндрической поверхности, площадь которой растет пропорционально R. Цилиндрическая расходящаяся волна существенно отличает- ся от сферической или плоской в том отношении, что она может иметь передний фронт, но не может иметь заднего фронта: после того как звуковое возмущение дойдет до заданной точки про- странства, оно уже не прекращается в ней, лишь сравнительно § 72 ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ ВОЛНОВОГО УРАВНЕНИЯ 383 медленно затухая асимптотически при t —> оо. Пусть функция /i(?) в первом члене в G1.2) отлична от нуля лишь в некото- ром конечном интервале значений ?i ^ ? ^ ^- Тогда в моменты времени ct > R + ?2 будем иметь Ь if = / vs/ При t —>• 00 это выражение стремится к пулю по закону т. е. обратно пропорционально времени. Таким образом, потенциал расходящейся цилиндрической волны, возникшей от действовавшего в течение конечного време- ни источника, хотя и медленно, но обращается в нуль при t —>> 00. Это обстоятельство приводит, как и в сферическом случае, к ра- венству нулю интеграла / pfdt = O. G1.9) Поэтому цилиндрическая волна, как и сферическая, непременно должна содержать в себе как сгущения, так и разрежения.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Цилиндрические волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
