Выведем выражение для энергии звуковой волны. Согласно общей формуле энергия единицы объема жидкости равна ре + + pv2/2. Подставим сюда р = ро + //, е = sq + e\ где буквы со штрихом обозначают отклонения соответствующих величин от их значений в неподвижной жидкости. Член p'v2/2 является ве- личиной третьего порядка малости. Поэтому, если ограничиться точностью до членов второго порядка включительно, получим 2 dpi 2 Как везде в этой книге, температура измеряется в единицах энергии. 12* 356 звук гл. viii Производные берутся при постоянной энтропии, поскольку зву- ковая волна адиабатична. В силу термодинамического соотно- шения = Tds-pdV = Tds + H- Р2 имеем вторая производная: (д2(ре)\ = (диЛ = (диЛ (др\ = с^ V др2 ) s \др / s V др ) s\dp) s p Таким образом, энергия единицы объема жидкости равна 2 2 Pq?q + Wp -\- р -\- ро —. Первый член в этом выражении (боРо) представляет собой энергию единицы объема неподвижной жидкости и не имеет от- ношения к звуковой волне. Что касается второго члена (г^ор7), то это есть изменение энергии, связанное просто с изменением количества вещества (массы жидкости) в каждой данной едини- це объема. В полной энергии, получающейся интегрированием энергии единицы объема по всему объему жидкости, этот член выпадает: поскольку общее количество жидкости остается неиз- менным, то J p' dV = 0. Таким образом, полное изменение энер- гии жидкости, связанное с наличием звуковой волны, равно ин- тегралу pov2 ^с2р>2' Подынтегральное выражение можно рассматривать как плот- ность Е звуковой энергии: 2 2р0 К J Это выражение упрощается в случае бегущей плоской вол- ны. В такой волне р1 = pqv/c, и оба члена в F5.1) оказываются одинаковыми, так что Е = p0v2. F5.2) В общем случае произвольной волны такое соотношение не имеет места. Аналогичную формулу можно написать в общем случае лишь для среднего (по времени) значения полной звуковой энер- гии. Она следует непосредственно из известной общей теоремы механики о том, что во всякой системе, совершающей малые ко- лебания, среднее значение полной потенциальной энергии равно § 65 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН 357 среднему значению полной кинетической энергии. Поскольку по- следняя равна в данном случае - / pqv2 dV, то мы находим, что полная средняя звуковая энергия есть fEdV = f pov*dV. F5.3) Далее, рассмотрим некоторый объем жидкости, в которой распространяется звук, и определим поток энергии через замкну- тую поверхность, ограничивающую этот объем. Плотность пото- ка энергии в жидкости равна согласно F.3) pv(w -\-v2/2). В рас- сматриваемом случае можно пренебречь членом с v2 как малым третьего порядка. Поэтому плотность потока энергии в звуковой волне есть pww. Подставив сюда w = wo + wf, имеем pww = wopv + pw'w. Для малого изменения тепловой функции имеем / (dw w = i lH Р op / s p и далее pww = w$pv + p'w. Полный поток энергии через рассма- триваемую поверхность равен интегралу (j)(wopv +pfv)df. Первый член в этой формуле есть поток энергии, связанный просто с изменением массы жидкости в данном объеме. Но мы уже опустили соответствующий (равный нулю при интегрирова- нии по бесконечному объему) член wopf в плотности энергии. По- этому, чтобы получить поток энергии, плотность которой опре- делена согласно F5.1), надо опустить этот член, и поток энергии будет просто (j)pvdi. Мы видим, что роль плотности потока звуковой энергии играет вектор q = p'v. F5.4) Легко проверить, что, как и должно было быть, имеет место со- отношение — + divp;v = 0, F5.5) ot выражающее закон сохранения энергии, причем роль плотности потока энергии играет именно вектор F5.4). В бегущей (слева направо) плоской волне изменение давления связано со скоростью посредством р1 = cpov, где скорость v = vx 358 звук гл. viii понимается вместе со своим знаком. Введя единичный вектор п в направлении распространения волны, получим q = cpov2n = cEn. F5.6) Таким образом, в плоской звуковой волне плотность потока энер- гии равна плотности энергии, умноженной на скорость звука, — результат, который естественно было ожидать. Рассмотрим теперь звуковую волну, занимающую в каждый данный момент времени некоторую конечную область простран- ства (нигде не ограниченную твердыми стенками) — волновой па- кет; определим полный импульс жидкости в такой волне. Им- пульс единицы объема жидкости совпадает с плотностью потока массы j = pv. Подставив р = ро + р', имеем j = pov + p'v. Из- менение плотности связано с изменением давления посредством р1 =pf/c . С помощью F5.4) получаем поэтому j = p0v + q/c2. F5.7) Если в рассматриваемых явлениях вязкость жидкости несуще- ственна, то движение в звуковой волне можно считать потен- циальным и написать v = \/cp (подчеркнем, что это утвержде- ние не связано с теми пренебрежениями, которые были сделаны в § 64 при выводе линейных уравнений движения,— решение с rot v = 0 является точным решением уравнений Эйлера). Поэто- му имеем Полный импульс волны равен интегралу J j dV по всему занима- емому ею объему. Но интеграл от Vtp может быть преобразован в интеграл по поверхности: f\/ipdV = (fxpdf и обращается в нуль, так как вне занимаемого волновым пакетом объема ср = 0. Таким образом, полный импульс пакета равен F5.8) Эта величина, вообще говоря, отнюдь не обращается в нуль. Но отличный от нуля полный импульс означает, что имеет место пе- ренос вещества. Мы приходим к результату, что распространение звукового пакета сопровождается переносом вещества жидкости. Это — эффект второго порядка, поскольку q есть величина вто- рого порядка. Наконец, рассмотрим звуковое поле в области пространства, неограниченной по своей длине и ограниченной по поперечному сечению (волновой цуг конечной апертуры); вычислим среднее § 65 ЭНЕРГИЯ И ИМПУЛЬС ЗВУКОВЫХ ВОЛН 359 значение переменной части давления р' в нем. В первом прибли- жении, соответствующем обычным линейным уравнениям дви- жения, р' является периодической знакопеременной функцией и среднее значение р' обращается в нуль. Этот результат, од- нако, может не иметь места, если обратиться к более высоким приближениям. Если ограничиться величинами второго порядка малости, то оказывается возможным выразить р' через величи- ны, вычисляемые с помощью линейных уравнений звука, так что не приходится прибегать к непосредственному решению нели- нейных уравнений движения, получающихся при учете величин высших порядков. Характерным свойством рассматриваемого звукового поля является то, что разности значений потенциала скорости ср в различных его точках остаются конечными при неограниченном увеличении расстояния между ними (и то же самое относится к разности значений ср в заданной точке пространства в различные моменты времени). Действительно, это изменение дается интег- ралом 2 ?2 — Ч>\ — / v dl, l который может быть взят по любому пути между точками 1 и 2\ указанное свойство потенциала становится очевидным, если заметить, что в данном случае можно выбрать путь, проходящий вдоль длины цуга вне его х) . Имея в виду это свойство, будем исходить из уравнения Вернулли w + — + — = const. 2 dt Усредним это равенство по времени. Среднее значение производ- ной d(p/dt обращается в нуль 2) . Написав также w = wq + w' л включив постоянную г^о в const, находим w' + v2 /2 = const. По- скольку const одинакова во всем пространстве, а вне волнового цуга вдали от него wf и v обращаются в нуль, то ясно, что эта ) Подобные соображения, по существу, использованы и при выводе F5.8), основанном на утверждении, что (р = 0 везде вокруг волнового пакета вдали от него. 2)По общему определению средних, для среднего значения производной от некоторой функции f(t) имеем Т/2 df _ 1 Г df _ dt ~ Т J dt ~ f. -Т/2 Если функция f(t) остается конечной при всех t, то при увеличении интер- вала усреднения Т эта величина стремится к нулю. 360 звук гл. viii постоянная должна быть нулем, так что ^7+- =0. F5.9) 2 V } Разложим, далее, w' по степеням р'\ с точностью до члена вто- рого порядка имеем / (dw\ i . 1 (d2w\ /2 w = (тг) р + о(тт] р ' \ ар / s 2 V ар2 / s и поскольку (dw/dp)s = 1/р, то 2 2рос2 2 po 2pg \dpJ s po 1c2 pi Подставив это в F5.9), получим ^ ^L ^ ^Z F5Л0) 2ро чем и определяется среднее давление. Стоящее справа выраже- ние является величиной второго порядка малости и для его вы- числения надо пользоваться У и и, получающимися путем ре- шения линейных уравнений движения. Для средней плотности имеем Ввиду конечности площади поперечного сечения волнового цуга, он не может представлять собой строго плоскую волну. Но если линейные размеры сечения достаточно велики по сравне- нию с длиной волны звука, волновое поле может быть близко к плоскому с высокой точностью. В бегущей плоской волне v = = ср'/ро, так что v2 = c2pf2/pQ и выражение F5.10) обращается в нуль, т. е. среднее изменение давления является эффектом более высокого порядка, чем второй. Изменение же плотности 2 V dp2/s в нуль не обращается . В этом же приближении имеем для среднего значения тензора плотности импульса в бегущей плос- кой (в указанном выше смысле) волне: р1 + ~рЩщ = р1 Первый член равен нулю, а во втором вводим единичный век- тор п в направлении распространения волны (совпадающем с *) Отметим, что производная {д2p/dp2)s фактически всегда отрицательна и поэтому в бегущей волне р' < 0. § 66 ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН 361 точностью до знака с направлением v). Воспользовавшись соот- ношением F5.2), будем иметь для плотности потока импульса: к. F5.12) Если волна распространяется вдоль оси ж, то отлична от нуля только компонента Пжж = Е. Таким образом, в рассматривае- мом приближении имеется средний поток только ж-компоненты импульса, причем он переносится в направлении оси х. По поводу всего сказанного в последнем абзаце лишний раз подчеркнем, что речь идет о волновом цуге, ограниченном по сво- ему сечению. Для волны, плоской в строгом смысле этого слова, эти результаты были бы несправедливы (в частности р' могло бы быть отличным от нуля уже в квадратичном приближении — см. задачу 4 в § 101). Формально это связано с тем, что для строго плоской волны (которую нельзя обойти «сбоку») несправедли- во, вообще говоря, утверждение о конечности потенциала (р во всем пространстве (или в течение всего времени). Физическое различие связано с возможностью (в случае ограниченного по сечению волнового цуга) возникновения поперечного движения, приводящего к выравниванию среднего давления.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Энергия и импульс звуковых волн» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
Как везде в этой книге, температура измеряется в единицах энергии. 