Переходя к изучению движения сжимаемой жидкости (или газа), мы начнем с исследования малых колебаний в ней; колеба- тельное движение с малыми амплитудами в сжимаемой жидко- сти называют звуковыми волнами. В каждом месте жидкости в звуковой волне происходят попеременные сжатия и разрежения. В силу малости колебаний в звуковой волне скорость v в ней мала, так что в уравнении Эйлера можно пренебречь членом (vV)v. По этой же причине относительные изменения плотности и давления в жидкости тоже малы. Мы будем писать перемен- ные рирв виде Р = Ро+Рг, Р = Ро + Р, F4.1) где ро? Ро — постоянные равновесные плотность и давление жид- кости, а р1\ р' — их изменения в звуковой волне (рг <С ро5 р' ) Уравнение непрерывности при подстановке в него F4.1) и пренебрежении малыми величи- нами второго порядка (//, р1', v надо при этом считать малыми величинами первого порядка) принимает вид Уравнение Эйлера ^ , ru_. . =0. F4.2) dv . / V7x Vp — + vVv = — —- dt v J p в том же приближении сводится к уравнению ^ + YeI = 0> F4<з) Условие применимости линеаризованных уравнений движе- ния F4.2) и F4.3) для распространения звуковых волн заключа- ется в малости скорости движения частиц жидкости в волне по сравнению со скоростью звука: i; <С с. Это условие можно по- лучить, например, из требования р' <^ ро (см. ниже формулу F4.12)). 350 звук гл. viii Уравнения F4.2) и F4.3) содержат неизвестные функции v, р', р'. Для исключения одной из них замечаем, что звуко- вая волна в идеальной жидкости является, как и всякое другое движение в такой жидкости, адиабатическим. Поэтому малое из- менение р' давления связано с малым изменением р' плотности уравнением р> = (-р.) р'. F4.4) V дро / s Заменив с его помощью р1 на р1 в уравнении F4.2), получим Ц- +Ро(^) divv = 0. F4.5) at \ дро/s Два уравнения F4.3) и F4.5) с неизвестными уир' полностью описывают звуковую волну. Для того чтобы выразить все неизвестные величины через одну из них, удобно ввести потенциал скорости согласно v = = grady?. Из уравнения F4.3) получим равенство связывающее р' с ср (индекс у ро и ро здесь и ниже мы будем для краткости опускать). После этого найдем из F4.5) уравнение ff - с2А<р = 0, F4.7) которому должен удовлетворять потенциал ср] здесь введено обо- значение Уравнение вида F4.7) называется волновым. Применив к F4.7) операцию grad, найдем, что такому же уравнению удовлетворя- ет каждая из трех компонент скорости v, а взяв производную по времени от F4.7), найдем, что волновому уравнению удовлетво- ряет и давление р1 (а потому и р1). Рассмотрим звуковую волну, в которой все величины зависят только от одной из координат, скажем, от х. Другими словами, все движение однородно в плоскости уz\ такая волна называется плоской. Волновое уравнение F4.7) принимает вид Для решения этого уравнения вводим вместо ж, t новые пере- менные ? = х — сЬ, г] = х + ct. § 64 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 351 Легко убедиться в том, что в этих переменных уравнение F4.9) принимает вид Интегрируя это уравнение по ? находим df = F(V), ОТ] где F(rj) —произвольная функция. Интегрируя еще раз, получим (fi = /i(?) + /2(^7), где /i и /2 — произвольные функции. Таким образом, 4> = h{x-ct) + f2{x + ct). F4.10) Функциями такого же вида описывается распределение также и остальных величин (pf, /У, v) в плоской волне. Будем говорить для определенности о плотности. Пусть, на- пример, /2 = 0, так что р' = fi(x — ct). Выясним наглядный смысл этого решения. В каждой плоскости х = const плотность меняется со временем; в каждый данный момент плотность раз- лична для разных х. Очевидно, что плотность одинакова для координат х и моментов времени ?, удовлетворяющих соотноше- ниям х — ct = const, или х = const + ct. Это значит, что если в некоторый момент t = 0 в некоторой точке жидкости ее плотность имеет определенное значение, то через промежуток времени t то же самое значение плотность имеет на расстоянии ct вдоль оси х от первоначального места (и то же самое относится ко всем остальным величинам в волне). Мы можем сказать, что картина движения распространяется в среде вдоль оси х со скоростью с, называемой скоростью звука. Таким образом, Д(ж — ct) представляет собой, как говорят, бегущую плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. Очевидно, что /2(ж + ct) представляет со- бой волну, распространяющуюся в противоположном, отрица- тельном, направлении оси х. Из трех компонент скорости v = grad (р в плоской волне от- лична от нуля только компонента vx = дср/дх. Таким образом, скорость жидкости в звуковой волне направлена вдоль распро- странения волны. В связи с этим говорят, что звуковые волны в жидкости являются продольными. В бегущей плоской волне скорость vx = v связана с давле- нием р' и плотностью р' простыми соотношениями. Написав if = f(x — ct), имеем v = %¦ = f'(x - ct), p' = -p% = pcf'(x - ct). ox at 352 звук гл. viii Сравнив эти выражения, находим v = ^-. F4.11) рс Подставляя сюда согласно F4.4) р' = с2//, находим связь между скоростью и изменением плотности: v = ^-. F4.12) Р Укажем также связь между скоростью и колебаниями темпе- ратуры в звуковой волне. Имеем Т' = (dT/dp)spf и, воспользо- вавшись известной термодинамической формулой ^др/ s cp\ и формулой F4.11), получим Т' = ^Lv, F4.13) ср о 1 (dV\ „ I, где р = — ( — 1 —температурный коэффициент расширения. Формула F4.8) определяет скорость звука по адиабатической сжимаемости вещества. Последняя связана с изотермической сжимаемостью известной термодинамической формулой [ — ) = —[ — ) • F4.14) Вычислим скорость звука в идеальном (в термодинамическом смысле слова) газе. Уравнение состояния идеального газа гласит лг Р RT pV = - = —, р Р1 где R — газовая постоянная, a \i — молекулярный вес. Для скоро- сти звука получим выражение —, F4.15) где 7 = Ср/су. Поскольку 7 обычно слабо зависит от температу- ры, то скорость звука в газе можно считать пропорциональной квадратному корню из температуры . При заданной темпера- туре она не зависит от давления газа 2) . ) Полезно обратить внимание на то, что скорость звука в газе порядка величины средней тепловой скорости молекул. 2) Выражение для скорости звука в газе в виде с2 = р/р было впервые получено Ньютоном A687). Необходимость введения в это выражение мно- жителя 7 была показана Лапласом. § 64 ЗВУКОВЫЕ ВОЛНЫ 353 Весьма важным случаем волн являются монохроматические волны, в которых все величины являются простыми периоди- ческими (гармоническими) функциями времени. Такие функции обычно бывает удобным писать в виде вещественной части комп- лексного выражения (см. начало § 24). Так, для потенциала ско- рости напишем iP = Re{iPo(x,y,z)e-^t}, F4.16) где о; —частота волны. Функция (р$ удовлетворяет уравнению 0 + ^о = 0, F4.17) получающемуся при подстановке F4.16) в F4.7). Рассмотрим бегущую плоскую монохроматическую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси х. В такой волне все величины являются функциями только от x — cb, и потому, скажем, потенциал имеет вид <р = Re JAexp [-io;(t - |)] }, F4.18) где А — постоянная, называемая комплексной амплитудой. На- писав ее в виде А = аега с вещественными постоянными а и а, будем иметь ср = acosf —х — uot + a). F4.19) Постоянную а называют амплитудой, а аргумент под знаком cos —фазой волны. Обозначим через п единичный вектор в на- правлении распространения волны. Вектор к = -п = —п F4.20) с Л называют волновым вектором (а его абсолютную величину ча- сто называют волновым числом). С этим обозначением выраже- ние F4.18) записывается в виде ср = Ке{Ае^кг~^}. F4.21) Монохроматические волны играют весьма существенную роль в связи с тем, что всякую вообще волну можно представить в ви- де совокупности плоских монохроматических волн с различны- ми волновыми векторами и частотами. Такое разложение волны на монохроматические волны является не чем иным, как раз- ложением в ряд или интеграл Фурье (о нем говорят также как о спектральном разложении). Об отдельных компонентах это- го разложения говорят как о монохроматических компонентах волны или как о ее компонентах Фурье.
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Звуковые волны» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. При заданной темпера- 