Если же мы име- ем дело со смесью жидкостей или газов, состав которой меняется вдоль ее объема, то уравнения гидродинамики существенно из- меняются. Мы ограничимся рассмотрением смесей с двумя только ком- понентами. Состав смеси мы будем описывать концентрацией с, определяемой как отношение массы одного из входящих в со- став смеси веществ к полной массе жидкости в данном элементе объема. С течением времени распределение концентрации в жидко- сти, вообще говоря, меняется. Изменение концентрации происхо- дит двумя путями. Во-первых, при макроскопическом движении жидкости каждый данный ее участок передвигается как целое с неизменным составом. Этим путем осуществляется чисто ме- ханическое перемешивание жидкости; хотя состав каждого пере- двигающегося участка жидкости не меняется, но в каждой дан- ной неподвижной точке пространства концентрация находящей- ся в этом месте жидкости будет со временем меняться. Если от- влечься от могущих одновременно иметь место процессов тепло- проводности и внутреннего трения, то такое изменение концен- трации является термодинамически обратимым процессом и не ведет к диссипации энергии. Во-вторых, изменение состава может происходить путем мо- лекулярного переноса веществ смеси из одного участка жидкости в другой. Выравнивание концентрации путем такого непосред- ственного изменения состава каждого из участков жидкости на- зывают диффузией. Диффузия является процессом необратимым и представляет собой наряду с теплопроводностью и вязкостью один из источников диссипации энергии в жидкой смеси. Будем обозначать буквой р полную плотность жидкости. Уравнение непрерывности для полной массы жидкости сохра- няет прежний вид +divv 0. E8.1) dt Оно означает, что полная масса жидкости в некотором объеме может измениться только путем втекания или вытекания жид- § 58 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СМЕСИ 319 кости из этого объема. Следует подчеркнуть, что, строго говоря, для жидкой смеси само понятие скорости должно быть опре- делено заново. Написав уравнение непрерывности в виде E8.1), мы тем самым определили скорость в соответствии с прежним определением как полный импульс единицы массы жидкости. Не меняется также и уравнение Навье-Стокса A5.5). Выве- дем теперь остальные гидродинамические уравнения для смесей. При отсутствии диффузии состав каждого данного элемента жидкости оставался бы неизменным при его передвижении. Это значит, что полная производная — была бы равна нулю, т. е. dt имело бы место уравнение dc дс . V7 n — = — + vVc = 0. dt dt Это уравнение можно написать, используя E8.1), как т. е. в виде уравнения непрерывности для одного из веществ в смеси (рс есть масса одного из веществ смеси в единице объема). Написанное в интегральном виде - ГpcdV = -(f)pcvdf оно означает, что изменение количества данного вещества в неко- тором объеме равно количеству этого вещества, переносимому движущейся жидкостью через поверхность объема. При наличии диффузии наряду с потоком лгрс данного ве- щества вместе со всей жидкостью имеется еще и другой поток, который приводит к переносу веществ в смеси даже при отсут- ствии движения жидкости в целом. Пусть i есть плотность этого диффузионного потока, т. е. количество рассматриваемого веще- ства, переносимого путем диффузии в единицу времени через единицу поверхности . Тогда для изменения количества этого вещества в некотором объеме имеем - f pcdV = -(Apcvdf- или в дифференциальном виде ^ = div (рслг) - div i. E8.2) от С помощью E8.1) это уравнение непрерывности для одного из веществ в смеси можно написать в виде =-divi. E8.3) ) Сумма плотностей потоков обоих веществ должна быть равна рлг. Поэто- му если плотность потока одного из них есть pvc+i, то другого — pv(l — c) — i. 320 диффузия гл. vi Для вывода еще одного уравнения повторим произведенный в § 49 вывод, учитывая, что термодинамические величины жид- кости являются теперь функциями также и от концентрации. При вычислении (в § 49) производной с помощью уравнений движения нам приходилось, в частности, преобразовывать члены р— и —vVp. Это преобразование теперь dt изменяется в связи с тем, что термодинамические соотношения для энергии и тепловой функции содержат дополнительный член с дифференциалом концентрации: de = T ds + — dp + a dc, Р2 dw = Tds + - dp + /i dc, P где /i — соответствующим образом определенный химический по- 1 \ гл де тенциал смеси ) . Соответственно этому в производную р— вои- dt дет теперь дополнительный член p/i —. Написав второе из тер- модинамических соотношений в виде dp = р dw — рТ ds — p\i dc, мы видим, что в член —лг\7р войдет дополнительный член р/1лг\7с. Поэтому к выражению D9.3) надо добавить p/j (|+Wc)=-Mdivi. Из термодинамики известно (см. V, § 85), что для смеси двух веществ: ds = T ds — p dV + /Ji dni + /12 dri2, где m, П2—числа частиц обоих веществ в 1 г смеси, a /ii, /12—химиче- ские потенциалы этих веществ. Числа п\ и П2 удовлетворяют соотношению п\т\ + П2ТП2 = 1, где mi, rri2—массы частиц обоего рода. Если ввести в качестве переменной концентрацию с = mmi, то мы получим ds = Tds-pdV+ (B--I^- ^rrii m2 Сравнивая с приведенным в тексте соотношением, мы видим, что химиче- ский потенциал //, которым мы пользуемся, связан с обычными потенциа- лами [i\ и [12 соотношением mi rri2 § 58 УРАВНЕНИЯ ГИДРОДИНАМИКИ ДЛЯ ЖИДКОЙ СМЕСИ 321 В результате получим ^ + w) - (v<t') + -a'.k<t!L + divq - /idivi. E8.4) Вместо -xVT мы пишем теперь некоторый поток тепла q, ко- торый может зависеть не только от градиента температуры, но и от градиента концентрации (см. следующий параграф). Сумму двух последних членов в правой части равенства напишем в виде div q — /i div i = div (q — /ii) + iV/i. Выражение стоящее под знаком div в E8.4), есть, по определению q, пол- ный поток энергии в жидкости. Первый член есть обратимый поток энергии, связанный просто с перемещением жидкости как целого, а сумма —(v<jf) +q есть необратимый поток. При отсут- ствии макроскопического движения вязкий поток (vcr7) исчезает и тепловой поток есть просто q. Уравнение закона сохранения энергии гласит: 1Aг+ре)=-dW[pv{j+w) - (v<j/)+4 E8-5) Вычитая его почленно из E8.4), получим искомое уравнение | + vVs) = <4gi - div (q - /xi) - iVM, E8.6) обобщающее выведенное ранее уравнение D9.4). Мы получили, таким образом, полную систему гидродинами- ческих уравнений для жидких смесей. Число уравнений в этой системе на единицу больше, чем в случае чистой жидкости, соот- ветственно тому, что имеется еще одна неизвестная функция — концентрация. Этими уравнениями являются: уравнения непре- рывности E8.1), уравнения Навье-Стокса, уравнение непрерыв- ности для одной из компонент смеси E8.2) и уравнение E8.6), определяющее изменение энтропии. Надо, впрочем, отметить, что уравнения E8.2) и E8.6) определяют пока по существу только вид соответствующих гидродинамических уравнений, поскольку в них входят неопределенные величины: потоки i и q. Эти урав- нения делаются определенными лишь при подстановке i и q, вы- раженных через градиенты температуры и концентрации; соот- ветствующие выражения будут получены в § 59. 11 Л. Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том VI 322 диффузия гл. vi Для изменения полной энтропии жидкости вычисление, пол- ностью аналогичное произведенному в § 49 (с использованием E8.6) вместо D9.4)), приводит к результату — ps aV = — / -^—— aV — / —- aV + ... 58.7 dt J и J T2 J T y J (члены, обусловленные вязкостью, для краткости не выписы- не выписываем).
Ви переглядаєте статтю (реферат): «Уравнения гидродинамики для жидкой смеси» з дисципліни «Теоретична фізика у 10 томах»
. Тогда для изменения количества этого 